→ GLP:這題真的好難o(＞＜；)o o 謝謝你搂 58.115.131.37 06/11 03:38
※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: 求曲面 xy=z 及兩平面 x+y+z=1, z=0所夾部分之體積
曲面記為S 平面記為P
兩式解聯立得 x＋y＋xy＝1
故交集處投影至xy平面上為 x＋y＋xy＝1
-> (x＋1)(y＋1)＝2 , 雙曲線
我們要的是 0≦x≦1 , 0≦y≦1 的部份
記這曲線線段為 C
而 (0,1) 至 (1,0) 之直線段記為 L
曲面S 在原點附近時的z值很小
可知此時S在下 P在上
xy平面上, C與L夾的區域內 , 已過了交集部分 , S在上 P在下
這兩區域分別記為 D D
1 2
故所求為
∬ xy dA ＋ ∬ 1－x－y dA
D D
1 2
－－－－－－－－－－－－－－－－
2 1－y
曲線C: (x＋1)(y＋1)＝2 x＝──－1＝──
y＋1 1＋y
1－y 2－u
為方便, 取u＝y＋1 , x＝── ＝ ──
1＋y u
－－－－－－－－－－－－－－－－
2－u
──
2 u 2 2－u
＝∫ ∫ x(u-1) dx du ＋ ∫ ∫ 2－u－x dx du
1 0 1 2－u
──
u
2 2 2 2
2 (2－u) (u－1) 2 (2-u) 2 (2－u) (2－u)
＝∫ ────── du ＋∫ － ─── ＋ (2－u) ＋ ─── － ─── du
1 2u^2 1 2 2u^2 u
2 2 2
2 u －4u＋4 (2－u) 2(2－u)
＝ ∫ ───── ＋ ──── － ──── du
1 2 2u 2u
2
2 2 u －4u＋4
＝1/2 ∫ u －4u＋4 － ───── du
1 u
2 2 4
＝1/2 ∫ u －5u＋8 － ─ du
1 u
17
＝ ─ － 2㏑2
12
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