Re: [考古] 成功大學-極限

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: Let f be differentiable for x>0 . Prove or disprove
: (1)If lim x->∞ f(x)=0 , then lim x->∞ f'(x)=0.
: (2)If lim x->0+ f(x)=∞, then lim x->0+ f'(x)=-∞.
→ yhliu:(1)反例: f(x) = sin(x^2)/x
→ yhliu:(2)反例: f(x) = -ln(x)+sin(1/x)
→ GLP:這反例都很難想到 不知道看到題目如何有靈感想
→ GLP:到這些反例呢? 還是平常些就要多背一些錯誤敘
→ GLP:述的反例呢 謝謝

就 (1) 而言, 首先可想到在 x→∞ 方向 f(x) 偶而凸起
一些小丘. 這些小丘可能越來越低, 但其斜度並不變小.
依此想法建構反例不難, 只是可能難看. 因此, 接下來就
是建構形式比較簡單而有類似特性的反例.

就 (2) 而言,初看似乎可以成立; 但要著手證明就會發現
困難. 證明的瓶頸就是反例構造的源頭. 因此可以想到在
"f'(x)→-∞" 之曲線加一些起伏, 這些起伏當 x 愈近 0
愈劇烈使 "f'(x)→-∞" 不成立. sin(1/x) 或 cos(1/x)
具有這樣的效果.


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