Re: [積分] 台灣大學-體積分

[icenivek (冰芭樂)]

※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
:                    x^2   y^2   z^2
: Let V = {(x,y,z)|  --- + --- + --- ≦1 } for a>0 ;b>0 and c>0
:                    a^2   b^2   c^2
: Find ∫∫∫ (|x| + |y| + |z|) dxdydz
:         V
: 我算出來是abc*( (πa)/2 + (πb)/2 + c )
: 但答案給 [(πabc)/2] * (a+b+c)

應該是積第一卦限再8倍（至少答案沒錯...）

  ∫∫∫ (|x| + |y| + |z|) dxdydz

=8abc∫∫∫(a*rcosθsinφ+b*rsinθsinφ+c*rcosφ)r^2*sinφ drdφdθ   r=0~1
                                                                      θφ
=8abc∫∫∫(acosθsinφ+bsinθsinφ+ccosφ)r^3*sinφ drdφdθ       都0~π/2

=2abc ∫∫(acosθsin^2φ+bsinθsin^@φ+csinφcosφ) dφdθ

=2abc  ∫ (π/4)(acosθ+bsinθ)+(c/2) dθ

=2abc*(π/4)(a+b+c)

=[(πabc)/2](a+b+c)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.168.107.113
推 midarmyman:WHY 4倍?
→ icenivek:因為......我打錯了(下面算式是8倍沒錯)
已修正
※ 編輯: icenivek        來自: 118.168.107.113      (06/18 00:56)
※ 編輯: icenivek        來自: 118.168.107.113      (06/18 00:56)

有人問到絕對值的影響

其實是因為 (x,y,z)當 x,y,z 有負數的時候~積出來的值就會不同

但因為絕對值的影響使x,y,z都變正數~所以為求方便(不然要一個個卦象積)

就積分全部為正的第一卦限後再8倍

[假設題目只有x,y帶有絕對值~而z沒有~

 那就要積x,y,z為正的１個卦限(ψ=0~π/2)的四倍

 再加上x,y為正, z為負的卦限(φ=π/2~π)的四倍 ]
※ 編輯: icenivek        來自: 118.168.107.113      (06/18 01:02)
→ GLP:多謝 原來我最後積c沒積到@@