推 darama:寫得好 1.175.133.61 06/22 17:37
※ 引述《swordfox (天阿...)》之銘言：
: 題目網址：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/97/97026.pdf
: 問題：第八題
: 我的解法：因為 n > n^1/2 * ln(n) 所以 sigma 1/n < sigma n^1/2 * ln(n)
: by comparsion test,已知 1/n 發散 所以 原題發散。
: 我的疑點：這邊第一行的不等式阿，我是代數字進去找他們的大小關係的
: (約略的數字而已)，如果我答案紙直接這樣寫（把等式
:
: 寫出來）會不會被扣分呢？
: 我爬文看到有大大用積分法，有人可以提供積分法的解法嗎？
:
: 謝謝囉！ 或是有其他方法的也歡迎：）
猜測n > (√n) * ln(n) 即(√n) > ln(n)
令f(n)= (√n) - ln(n)
f'(n)=1/(2√n) - 1/n =( (√n)/2 -1 )/n 對(√n)/2 > 1 都有f'(n)>0
即n > 4 時 f(n)遞增
又f(n)是連續函數 故n > 4 時 f(n)遞增可包含n=4這點
即對n ≧ 4 f(n) ≧ f(4)=2-ln4>0
對n ≧ 4 恆有(√n) > ln(n)
又級數斂散性不受前面有限項影響
故原級數 > Σ1/n 發散
另外 這題用極限比較檢驗和1/n比較就直接得證發散
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