推 sonlyfun:謝謝囉 ^^122.117.104.226 06/25 19:49
推 sonlyfun:辛苦了122.117.104.226 06/25 19:51
※ 引述《sonlyfun (BG)》之銘言：
: (1+x)^(1/x)-e
: lim _____________ = -e/2
: x-> 0 x
: 初次發問 格式有誤請多多見諒 謝謝
x - (1+x)ln(1+x)
設f(x) = (1+x)^(1/x) , 則f'(x) = f(x) [-------------------]
(1+x) x^2
x - (1+x)ln(1+x)
lim f'(x) = lim f(x) [-------------------]
x→0 x→0 (1+x) x^2
1 x - (1+x)ln(1+x)
= lim f(x) lim ------ lim ------------------
x→0 x→0 (1+x) x→0 x^2
其中 最後一項 用羅畢達可知存在(見下面的括號內運算), 所以這樣拆開是沒問題的 .
x - (1+x)ln(1+x) 1-(1+ln(1+x)) -ln(1+x)
( lim ------------------ = lim --------------- = lim --------
x→0 x^2 x→0 2x x→0 2x
-1
= lim ------- = -1/2 )
x→0 2(1+x)
所以 lim f'(x) = e*(1/1)*(-1/2) = -e/2 .
x→0
f'(x)-0
又對原題目用羅畢達得到所求 = lim -------- = lim f'(x) = -e/2 .
x→0 1 x→0
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◆ From: 123.204.2.79
※ 編輯: G41271 來自: 123.204.2.79 (06/25 17:23)