※ 引述《JULIKEBEN (啾西)》之銘言：
: if 0<a<b
: 1 t 1/t
: then lim {∫[bx+a(1-x)] dx} = _______
: t→0 0
: 嘗試了幾種方法還是解不出來囧
: 都是越解越複雜= =""
: 請高手指教
: thanks=)
令s=bx+a(1-x) (t≠-1) 變數變換
1 t 1 b b^(t+1)-a^(t+1)
∫[bx+a(1-x)] dx=-----∫ s^t ds =---------------
0 b-a a (b-a)(t+1)
1 t 1/t b^(t+1)-a^(t+1)
{∫[bx+a(1-x)] dx} =={---------------}^(1/t)
0 (b-a)(t+1)
=Exp{ {Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]}/t }
注意:
{Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]}/t
Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]
= -------------------------------------
t
0
t→0 為 --- 型 接下來用羅必達一次
0
Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]
lim -------------------------------------
t→0 t
(Ln b)*b^(t+1)-(Ln a)*a^(t+1) -1
----------------------------- + ----
b^(t+1)-a^(t+1) t+1
=lim ----------------------------------------
t→0 1
(Ln b)*b-(Ln a)*a
= ------------------ -1
b-a
b^(t+1)-a^(t+1)
所求=lim {---------------}^(1/t)
t→0 (b-a)(t+1)
=lim Exp{ {Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]}/t }
t→0
Ln[b^(t+1)-a^(t+1)]-Ln[b-a]-Ln[t+1]
=Exp{lim ----------------------------------- }
t→0 t
(Ln b)*b-(Ln a)*a
=Exp[------------------- -1 ]
b-a
(當然可以再簡化,不過我認為做到這就可以了...)
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