Re: [考古] 中正97年 電機系

[shancool (善)]

※ 引述《egg790724 (雞蛋)》之銘言：
: Let R be region in the first-quadrant bounded by x^2+y^2=4 , x^2+y^=9 ,
: x^2-y^2=1 , and x^2-y^2=4. Then  ∫∫xy dxdy=  ?
:                                   R
: 這個圍起來的圖形是怎樣呢@@?
: 有沒有不畫圖的方法@@?
: 先謝謝大家了



Jacobian 就是當座標由xy-axis轉換成uv-axis時，要同時乘上的東西
以這題為範例，令u=x^2+y^2以及v=x^2-y^2，

Jacobian通常簡寫成Ｊ，


       　　        １
Ｊ＝  ------------------------------------      ＞０
   　　||(u對x偏微)   (u對y偏微)    ||
   　　||                           ||
   　　||(v對x偏微)   (v對y偏微)    ||


裡面那層||是「外積」，外面||是絕對值，

由此題，


　　　　　　　１               １
Ｊ＝   ---------------　　＝ ------ ＝　1/8xy >0
   　　||　2x   2y   || 　   |-8xy|
　　　 ||          　||
  　　 ||　2x  -2y   ||


且由題目得知

4<=u<=9 以及  1<=v<=4

              4 9
∫∫xy dxdy= ∫∫ xy * (1/8xy)dudv
 R            1 4



應該就可以算了…!!

另外講一個令的方法，
通常有時看到題目感覺很像圓的方程式時候，會令成
x=rcosθ，y=rsinθ

此時的Jacobian不需要倒數(why?請試著理解..)


  ||cosθ -rsinθ||
J=||             ||  =r>0
  ||sinθ  rcosθ||

所以為什麼每次換成圓時不是直接寫積分drdθ
而是要多乘一個r(drdθ)的原因在這裡....

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◆ From: 59.115.77.9
→ dycc:裡面那層| |應該是外積喔
→ shancool:對..是外積謝謝提醒..
→ shancool:還有積分v的上限是4下限1..我寫顛倒了..
※ 編輯: shancool        來自: 59.115.77.9          (07/06 14:41)
推 egg790724:懂了~!感謝拉~!