※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: 證明雙變數之連鎖法則(Chain Rule) 20%
: 題目就那麼短@@
教本應該有吧?
設:
z=f(x,y) 在 (x0,y0) 可微,
x=u(s,t), y=v(s,t) 均在 (s0,t0) 可微
x0=u(s0,t0), y0=v(s0,t0)
則, by definition,
z = f(x,y)
= f(x0,y0) + f_x(x0,y0)△x + f_y(x,y)△y + r(x,y)√[(△x)^2+(△y)^2]
其中 r(x,y)→0 當 (△x,△y)→(0,0).
類似將 u,v 展開, 得
△x = u(s,t) - u(s0,t0)
= u_s(s0,t0)△s + u_t(s0,t0)△t + r1(s,t)√[(△s)^2+(△t)^2]
△y = v(s,t) - v(s0,t0)
= v_s(s0,t0)△s + v_t(s0,t0)△t + r2(s,t)√[(△s)^2+(△t)^2]
故
(△x)^2+(△y)^2 = O((△s)^2+(△t)^2)
代入 z=f(x,y) 得
z = f(u(s,t),v(s,t))
= f(u(s0,t0),v(s0,t0))
+ f_x(x0,y0){u_s(s0,t0)△s+u_t(s0,t0)△t+r1(s,t)√[(△s)^2+(△t)^2]
+ f_y(x0,y0){v_s(s0,t0)△s+v_t(s0,t0)△t+r2(s,t)√[(△s)^2+(△t)^2]
+ r(x,y)√[(△x)^2+(△y)^2]
= f(u(s0,t0),v(s0,t0))
+ (f_x(x0,y0)u_s(s0,t0)+f_y(x0,y0)v_s(s0,t0))△s
+ (f_x(x0,y0)u_t(s0,t0)+f_y(x0,y0)v_t(s0,t0))△t
+ {f_x(x0,y0)r1(s,t)+f_y(x0,y0)r2(s,t)
+ r(x,y)√[(△x)^2+(△y)^2]/√[(△s)^2+(△t)^2]}√[(△s)^2+(△t)^2]
當 (△s,△t)→(0,0) 時, (△x,△y)→(0,0), 故可得
f_x(x0,y0)r1(s,t)+f_y(x0,y0)r2(s,t)
+ r(x,y)√[(△x)^2+(△y)^2]/√[(△s)^2+(△t)^2] → 0
when (△s,△t)→(0,0)
由此得 z 對 s 與對 t 之偏導數分別為:
δz/δs = f_x(x0,y0)u_s(s0,t0)+f_y(x0,y0)v_s(s0,t0)
δZ/δT = f_x(x0,y0)u_t(s0,t0)+f_y(x0,y0)v_t(s0,t0)
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