[積分] 三角函數積分

[dycc (dycc)]

剛剛翻到王博算星形線內圍的面積發現一個神奇的算法


 2/3    2/3    2/3
x    + y    = a

        3           3
令x=acos θ   y=asin θ

       a         0      3          2
Area=4∫ ydx = 4∫ (asin θ)(-3acos θsinθdθ)
       0        π/2

        2  π/2    4      6           2   1*3   π      1*3*5   π
    =12a   ∫  (sin θ-sin θ)dθ= 12a  (-----*---  -  -------*---)
            0                             2*4   2       2*4*6   2
       3     2
    = --- πa
       8

這段的算法好神奇啊 =口=

好像可以寫成
 b    n        1*3*5*...*(n-1)       1*3*5*...*(n-1)
∫ sin x dx = -----------------*b - -----------------*a    n為偶數
 a               2*4*6*...*n           2*4*6*...*n

我看前面的積分公式是寫
                   n-1
      n         sin  x cosx     n-1        n-2
∫ sin x dx= - ------------- + ----- ∫ sin  x dx + C
                     n           n


兩個好像是不一樣的東西?

是用泰勒去推的嗎?

順便請問一下cos有這種算法嗎?


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 211.23.224.202
→ bnm51315:這是Wallis公式吧 cos可以換成sin 一樣啊
→ bnm51315:在0~ (pi/2)間~
→ dycc:嗯嗯 所以可以背起來用就是了 謝謝
推 SDUM:那個就是 IBP，不用背( ￣ c￣)y▂ξ