[考古] 97東華

[chemical1223 (康康康康康康)]

if

                     xy
                 -----------  if (x,y) =/ (0,0)
     f(x,y) =     x^2 + y^2

                      0       if (x,y) =  (0,0)

證明f在(0,0)不可微分

以下是我的做法



 σ                  f(h,0)-f(0,0)
----f(x,y) =  lim   ---------------   = 0
σx           h->0        h

 σ                  f(0,t)-f(0,0)
----f(x,y) =  lim   ---------------   = 0
σy           t->0        t


df = f (0,0)△x + f (0,0)△y = 0
      x            y

△f = f(0+△x,0+△y)-f(0,0) = f(△x,△y)



                            △f - df
若            lim        ------------------  = 0
     (△x,△y)->(0,0)
                        √(△x^2 + △y^2)


則可微分


                       △f - df
       lim        ------------------
(△x,△y)->(0,0)
                   √(△x^2 + △y^2)


                           △x△y
                       --------------
                        △x^2 + △y^2
          lim       --------------------
 = (△x,△y)->(0,0)   √(△x^2 + △y^2)


取y=m△x
                           m △x^2
         lim           ------------------
=      △x-> 0         △x^2 + (m△x)^2
                    ------------------------
                       √(△x^2 + (m△x)^2)


                              m
         lim               --------
=      △x-> 0              1 + m^2
                      -------------------     =   0
                        1  + √(1+m^2)
                       ---
                       △x


這樣不是在(0,0)可微分嗎???


麻煩各位幫忙解惑了，謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.117.127.125
※ 編輯: chemical1223    來自: 59.117.127.125       (07/17 22:57)
→ GLP:極限不存在=>不可微分
→ GLP:令x=rcosa , y=rsina 代入原題 r->0
※ 編輯: chemical1223    來自: 59.117.127.125       (07/17 22:58)
→ chemical1223:可是這樣算出來極限值 = 0  耶@@
※ chemical1223:轉錄至看板 Math                                    07/17 23:02
→ GLP:只消調r^2 會留下sinacosa
→ chemical1223:....我看成 sin r  了= =
→ chemical1223:那這樣我了解囉~謝謝