Re: [張爸] 算物理遇到的

[t86xu3 (裏)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
:  a/2  a/2
: ∫   ∫     (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy
:  -a/2 -a/2
: a.d都是常數  請問要怎麼積 我只想到三角代換
: 可是又做不出來@@

就兩個公式而已

            du                    u
∫ -------------------  = ------------------  +  constant
    (u^2 + A^2)^(3/2)      A^2 √(u^2 + A^2)

                  du                     1                    B u
∫---------------------------------- = ----- arctan (----------------------)
   (u^2 + A^2) √(u^2 + A^2 + B^2)      A B           A √(u^2 + A^2 + B^2)

+ constant


所以

  a/2  a/2              dx dy
 ∫   ∫     -------------------------
  -a/2 -a/2   (x^2 + y^2 + d^2)^(3/2)


   a/2                         x                 x = a/2
= ∫   dy   [----------------------------------- ]
  -a/2        (y^2 + d^2)  √(x^2 + y^2 + d^2)   x = -a/2


      a/2                  dy
= a  ∫   ------------------------------------
     -a/2    (y^2+d^2)  √(y^2 + d^2 + a^2/4 )


          1                       (a/2) y                y = a/2
= a [ ---------  arctan ( --------------------------- )  ]
       (a/2) d             d √(y^2 + d^2 + a^2/4 )      y = -a/2


    4                      a^2
= ---- arctan ( ------------------------ )
    d             2d  √( 4d^2 + 2a^2 )


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Frobenius大算出來的答案

  4    -1                                 4           2d √(2a^2+4d^2)
= - cot  ( 2d √ [ 2 + (2d/a)^2 ] /a ) = --- arccot (-------------------)
  d                                       d                 a^2

和我的答案是一致的( arccotu = arctan(1/u) ,自己畫三角形就可以了解了.) .

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而你說解答是用 arcsin來寫 , 我推測是

 4                a^2
--- arcsin (-------------)  .  (少了根號的確比較漂亮)
 d            a^2 + 4d^2

                                    A
因為 arctan( A/B ) = arcsin(----------------)  (一樣,畫三角形就可了解.) ,
                              √(A^2 + B^2)

所以等同於我們的答案.

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有限正方形電板正上方距離d的點P的電場是


^    σ     a/2  a/2          d   dx dy
z -------- ∫   ∫    -------------------------
    4πε  -a/2 -a/2   (x^2 + y^2 + d^2)^(3/2)



  ^   σ d     4                a^2         ^  σ                a^2
= z --------  --- arcsin (-------------)  = z ----  arcsin (-------------)
      4πε    d            a^2 + 4d^2        πε            a^2 + 4d^2



   σ   arcsin ( a^2/(a^2 + 4d^2) )   ^
= ---- -----------------------------  z
   ε               π

                                 σ  ^
當a→∞時 (無限大電板) , 電場 = ---- z
                                 2ε

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◆ From: 123.204.119.230
※ 編輯: t86xu3          來自: 123.204.119.230      (08/24 10:14)
※ 編輯: t86xu3          來自: 123.204.119.230      (08/24 10:38)
推 Frobenius:超完整補完!應該有人想問前兩個積分吧XD
→ t86xu3:第一個沒問題,第二個令u=√(A^2+B^2)tanθ
→ t86xu3:第一個沒問題,第二個令u=√(A^2+B^2)tanθ
→ t86xu3:然後全部化成sin和cos,就可看出要令
→ t86xu3:v=(b/a)sinθ,就可以積出來了