推 Honor1984:沒錯 應該是sec140.109.103.226 08/24 14:32
→ Honor1984:交換積分順序才用tan 還要分段 我弄錯了140.109.103.226 08/24 14:35
→ Honor1984:算了 都當我沒說 arccos 真糗140.109.103.226 08/24 14:54
※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: : a/2 a/2
: : ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy
: : -a/2 -a/2
: : a.d都是常數 請問要怎麼積 我只想到三角代換
: : 可是又做不出來@@
: 如果真的出了這一題
: 應該就是真的要叫你積出來
: midarmyman考前背答案還是會得0分!
: π/4 atanθ*1/2
: 原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ
: 0 0
π/4 asecθ*1/2
原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ
0 0
: π/4 1 1
: = 8∫ [--- - ----------------------]dθ
: 0 d √[(atanθ)^2/4 + 1)]
π/4 1 1
= 8∫ [--- - -------------------------]dθ
0 d d√[(asecθ)^2/4d^2 + 1)]
: 2π π/4 dθ
: = --- - 8 ∫ --------------------
: d 0 √[(atanθ)^2/4d^2 + 1)]
2π 8 π/4 dθ
= --- - - ∫ --------------------------
d d 0 √[(a/2d)^2(secθ)^2 + 1)]
(0)
π/4 dθ
∫ ------------------------ ( where k = a/2d )
0 √[k^2 (secθ)^2 + 1)]
-1 √2 Sinθ
Tan [-------------------------] √[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] Secθ │θ= π/4
√[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] │
= -----------------------------------------------------------------│
√[2 + 2 k^2 (Secθ)^2 ] │θ= 0
-1 1 -1
= Tan [ ------------- ] = Cot [ √(1 + 2 k^2) ] ( By mathematica )
√(1 + 2 k^2)
(1) (2)
a/2 a/2
∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy
-a/2 -a/2
(1)
2π 8 -1 1
= --- - - Tan [ ------------------ ]
d d √[1 + 2 (a/2d)^2]
4 π -1 1
= - { --- - 2 Tan [ ------------------ ] }
d 2 √[1 + 2 (a/2d)^2]
4 π -1 2d/a
= - { --- - 2 Tan [ ----------------- ] } (A)
d 2 √[2 + (2d/a)^2]
4 π -1
= - { --- - Tan [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] } (B)
d 2
4 -1
= - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ]
d
4 -1
= - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ]
d
4 -1 2d √(2a^2+4d^2)
= - Cot [ ---------------- ]
d a^2
4 -1 a^2
= - Sin [ ---------- ]
d a^2 + 4d^2
(2)
2π 8 -1
= --- - - Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ]
d d
4 π -1
= - { --- - 2 Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ] }
d 2
4 π -1
= - { --- - 2 Cot [(a/2d) √[2 + (2d/a)^2] ] } (C)
d 2
4 π -1 a/2d
= - { --- - Cot [ ---------------- ] } (D)
d 2 √[2 + (2d/a)^2]
4 -1 a/2d
= - Tan [ ---------------- ]
d √[2 + (2d/a)^2]
4 -1 a^2
= - Tan [ ----------------- ]
d 2d√(2a^2 + 4d^2)
4 -1 a^2
= - Sin [ ---------- ]
d a^2 + 4d^2
與 t86xu3 大的結果一樣
用極座標的方法會碰到如(0)式的積分，
還要解釋(A)式=(B)式或(C)式=(D)式相等的困難，
也許(0)式有更簡單的型式可以不用碰到上面的困難，
不過只要會積t大文章中前兩式的積分此題就會迎刃而解。
: 後面這個積分已經有人幫你問過了
: 可以完全只用三角函數沒有問題
可以去試試看t大的兩個積分會不會只用到三角代換XD
: 但是(a/2d)^2-1是正,負或等於0都會影響積出來的結果
: 所以Frobenius可能也要檢查一下積分過程中是不是有些條件沒有討論到
我的過程在 1-(a/2d)^2 < 0、1-(a/2d)^2 = 0和 1-(a/2d)^2 > 0均成立
給mathematica跑的數值積分其值也跟我的公式直接代數字結果相同
若代入 r = 0～(a/2)tanθ 反而不同，要代入 r = 0～(a/2)secθ 才對
: 另外建議midarmyman把這重積分調換順序
: 看看自己會不會寫上下限
: 這是練習的機會
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※ 編輯: Frobenius 來自: 114.43.241.200 (08/24 12:52)