Re: [張爸] 算物理遇到的

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：

如果很有潔癖一定要化成單一arcsin


        4     π                      1
結果 = --- [-----  -   2 arcsin[--------------]]
        d     2                 √[2(k^2 + 1)]


        4                             1
     = --- arsins[cos[2 arcsin[--------------]]]
        d                      √[2(k^2 + 1)]

到這一步必然知道最後一定可以化掉根號


        4              1+2k^2               1
     = --- arcsin[--------------  -  --------------]
        d             2(k^2 + 1)        2(k^2 + 1)


        4             k^2
     = --- arcsin ------------
        d          k^2  +  1


        4             a^2
     = --- arcsin ----------
        d          4d^2 + a^2




: 這題寫成極座標就是有它的好處
: 容易積分
: π/4            dθ
: ∫ ------------------------
:  0   √[k^2 (secθ)^2 + 1)]
:   π/4    cosθ dθ
: =∫ ------------------------
:    0   √[k^2 + cos^2(θ)]
:  π/4     dsinθ
: =∫ ------------------------
:   0   √[k^2 + 1 - sin^2(θ)]
:  π/4     dsinθ/√(k^2 + 1)
: =∫ ------------------------
:   0   √[1 - sin^2(θ)/(k^2 + 1)]
:                  1
: = arcsin[----------------]
:           √[2(k^2 + 1)]
: : 也許(0)式有更簡單的型式可以不用碰到上面的困難，
: : 不過只要會積t大文章中前兩式的積分此題就會迎刃而解。
: : 可以去試試看t大的兩個積分會不會只用到三角代換XD
: : 我的過程在 1-(a/2d)^2 < 0、1-(a/2d)^2 = 0和 1-(a/2d)^2 > 0均成立
: : 給mathematica跑的數值積分其值也跟我的公式直接代數字結果相同
: : 若代入 r = 0～(a/2)tanθ 反而不同，要代入 r = 0～(a/2)secθ 才對

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◆ From: 140.109.103.226
推 Frobenius:第二個等式看不懂@@
推 Frobenius:Let 2ArcSin□ = ArcCos○
→ Frobenius: => ○ = Cos(2ArcSin□)
→ Frobenius:π/2 - 2ArcSin□ = π/2 - ArcCos○
→ Frobenius: = ArcSin○ = ArcSin(Cos(2ArcSin□))
→ Frobenius:Cos(2ArcSin□)
→ Frobenius: = Cos(ArcSin□)^2 - Sin(ArcSin□)^2
推 Frobenius:殊途同歸XD