※ 引述《pentiumevo (pentiumevo)》之銘言：
: Q1~Q3:請問以下各級數是絕對收斂,條件收斂還是發散
: Q1:
: ∞
: Σ [(-1)^(n-1)][(2^n)n!] /[1*3*5*...*(2n+1)]
: n=1
a(n) = (2^n)n!/[1*3*5*...*(2n+1)]
= (2^n)n!(2^n)n!/(2n+1)!
a(n+1)/a(n) = 4(n+1)^2/[(2n+2)(2n+3)] < 1
By Stirling's formula,
(2^{2n})[n^{n+1/2}e^{-n}√(2π)]^2
a(n) ～ ----------------------------------------
(2n+1)^{2n+3/2} e^{-2n} √(2π)
= 2^{2n}n^{2n+1}√(2π)/(2n+1)^{2n+3/2}
= (2n)^{2n+1}√(2π)/(2n+1)^{2n+1+1/2}
～ √(2π)/e √(2n+1) ～ (√π/e)/√n
由極限比較檢斂法知 Σa(n) 發散;
由交錯級數檢斂法知 Σ(-1)^{n-1}a(n) 收斂.
: Q2:
: ∞
: Σ [(-1)^(n-1)][1*3*5*...*(2n-1)]/[2*4*6*...*(2n)]
: n=1
a(n) = 1*3*5*...*(2n-1)/[2*4*6*...*(2n)]
= (2n)!/[2*4*6*...*(2n)]^2
= (2n)!/[2^{2n}(n!)^2]
類似 Q1.
: Q3:
: ∞
: Σ [(-1)^(n-1)][(2^n)n!] /[5*8*11*...*(3n+2)]
: n=1
a(n) = (2^n)n!/[5*8*11*...*(3n+2)]
a(n+1)/a(n) = 2(n+1)/(3n+5) → 2/3
與 Σ r^n 比較.
: Q4~Q6:求級數收歛半徑&收斂區間
: Q4:
: ∞
: Σ {[(3^n)+n]*x^n} /[(4^n)+3]
: n=0
[(3^n)+n]/[(4^n)+3] → 3/4
: Q5:
: ∞
: Σ [(-1)^n][(3x+4)^n] /[n*(ln n)]
: n=2
很顯然.
: Q6:
: ∞
: Σ {[(n+1)/n]^(n^2)}*x^n
: n=1
[(n+1)/n]^{n^2} = [(1+1/n)^n]^n ～ e^n
[(n+1)/n]^{n^2}/e^n = [(1+1/n)^n/e]^n
ln {(1+x)^{1/x}/e} = (1/x)ln(1+x) - 1
= (x-x^2/2+x^3/3-...)/x - 1
= -x/2 + x^2/3 - ...
ln {(1+x)^{1/x}/e}^{1/x}
= -1/2 + x/3 - x^2/4 + ...
故
[(1+1/n)^n/e]^n → e^{-1/2}≠0
: Q7:找出f(x)=x/(3x+2)在a=2處的冪級數
f(x) = [(x-2)+2]/[3(x-2)+8]
= (u+2)/(3u+8) u=x-2
: 題目出處:李英豪的"基礎微積分解析導引"9-5,9-6與9-7節習題
: 這七題想好久想不出來,請大家幫忙,謝謝!
: 很抱歉!用了一大堆括號,敬請見諒
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