Re: [積分] 一題經典題

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《jason90023 (Ray allen Iverson)》之銘言：
:  ∞   x^3
: ∫ ----------dx=pi^4/15
:  0   e^3 + 1
     e^(x) + 1才對

題目打完後再檢查一遍很困難嗎?

如果有人好心想要幫你解答這些問題

到頭來發現原來題目根本就是錯的

這樣不是很浪費別人的時間嗎?

丟個題目走人之前

請回過來頭檢查有沒有打錯

: 後來算到級數的sum 1/n^4就卡住了@@
: 不知道要怎麼算出他是pi^4/90


  ∞   x^3
 ∫ ----------dx
  0   e^x + 1

       x^3e^(-x)
= ∫ ------------ dx
      1 + e^(-x)


= -∫ Σx^3*e^(-kx) de^(-x)
     k=0

           e^[(-k-1)x]           3x^2*e^[(-k-1)x]
= - Σx^3*-------------- +  Σ∫ ---------------- dx
               k+1                  k+1

       6 e^[(-k-1)x]
= Σ ∫ -----------   dx
          (k+1)^3

      - 6 e^[(-k-1)x]    ∞
= Σ -----------------  [
  k=0     (k+1)^4        0

         6
= Σ ----------
  k=1    k^4


=  6 ζ(4)

     π^4
=  ---------
      15


如果沒記錯  這應該是Planck電磁輻射計算過程中可能會算到的積分

              1
你如果要問Σ----這應該不是一般微積分技巧可以做出來的
             k^4

可以的話  Bernoulli自己老早就做出來


因為這裡是初微板  不想扯上複變的話


用複利葉級數方法就有幾種可以求得這個和


例如f(x)=x^2或者鋸齒形狀的函數都可以


但是我蠻好奇有考試會這樣出的


照理說寫到6ζ(4)應該就可以了


這個題目應該要給ζ(4)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.124.107.163
※ 編輯: Honor1984       來自: 122.124.107.163      (09/26 00:44)
推 aacvbn:這種就不幫他 還什麼經典題 我看手殘問題吧
推 jason90023:...抱歉啦我沒有不檢查  真的是眼殘
推 jason90023:感謝!!!
推 zptdaniel:他至少比以前某個會故意打錯題目還說沒
→ zptdaniel:錯誤的傢伙好
→ zptdaniel:不過那傢伙已經消失很久了
→ Honor1984:OK 那以後請注意 才一行積分而已...
推 XII:用棣美弗和夾擠就可以算Σ(1/k^4)了~
※ 編輯: Honor1984       來自: 122.124.105.176      (09/27 18:20)
→ Honor1984:可以請樓上把做法貼上來嗎?我也想知道~~
推 midarmyman:推1984