Re: [張爸] 證明

[crazymars (什麼時候才有日出)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 要証明f(x)=x^2
: limf(x)=1
: x→1
: 我的作法
: │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│(暫定│x-1│<1=δ)
:  <=│x-1│+2<δ+2=ε
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這一行 我怎麼看怎麼怪
: 取δ=ε-2
: 所以當│x-1│<δ
: │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│<δ+2=ε
: 得證
: 這樣作對嗎? 老師怎麼說ε要先給定再找δ
: 我這樣寫不是也等於先給定ε=2+δ了嗎?
: 蔣正明的書都這樣寫 結果今天去問老師說不行@@
目標

for all ε>0 ,it exists δ>0 ,s.t |x^2-1|<.....<ε if |x-1|<δ

觀察

|x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < |x+1|δ (因為是在|x-1|<δ底下做)

但是|x+1|不是一個定值 所以不能直接接著寫 |x+1|δ<ε 取δ=ε/|x+1|

但是極限只是觀察x在1附近的性質，

所以我們可以先設定 |x-1| < 1 .....(1)

此時 0 < x < 2

所以 |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (所以取δ=ε/2) 假如|x-1|<δ

但是這邊的δ不能只取ε/2 回去看(1)式 他限制 |x-1| < 1 了

所以萬一ε/2超過了1(因為ε是任意給的 不能排除這樣的可能)

這樣我們證明中運用了 x < 2 這件事情 就不會成立了

所以我們取δ=min{1,ε/2}

以上全部都是想法，最後證明的論述寫下面的東西就好了

for all ε>0 , it exists δ = min{1,ε/2}

s.t. |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (∵|x-1| < 1 => 0 < x < 2) if |x-1| < δ

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◆ From: 114.37.136.85
推 midarmyman:|x+1|*|x-1| < 2*δ=ε為啥會小於2δ
推 midarmyman:喔 會了!  謝謝
推 midarmyman:我原本那樣到底行不行?
推 midarmyman:萬一ε/2超過了1就不對 那為啥最後還
→ midarmyman:選他
推 midarmyman:是因為如果他超過就改選1沒超過就選他?