Re: [微分] 很簡單

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: f(x)=x^2sin(1/x) if x=\=0
:     =0           if x=0
: 要求在0的導數
: 由定義
:        f(x)-0
: lim -------------=lim xsin(1/x)=0
: x→0     x

: 可是如果直接把x^2sin(1/x)微分
: 變成2xsin(1/x)-cos(1/x)
: 代0下去就GG了
: 這個函數在零連續阿 由定義知道可以微分
: 為啥直接微分會算不出來?


    首先 你所微分的函數不叫 f'(x)

    假設  f(x) = ┌  g(x)     if x≠0
　　　　　　　　 └  0        if x=0
                              其中  g(x) = x^2sin(1/x)

    你微出來的東西是  g'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x)
    g'(x) 在 x=0 下有定義嗎?

    很明顯沒有
                         g(x) - g(0)
　　因為  g'(0) =   lim  ___________
                   x→0     x - 0

    請問  g(0)=?
    根本不知道吧
　　因為前面的假設根本沒定義 g(x) 在 x=0 下的值為何
　　因此 　g'(x) 只能在 x≠0　下討論


    也就是:

       f'(x) = ┌  g'(x)      if x≠0
 　　　　 　　 └  f'(0)      if x=0

    既然如此
　　你去討論 g'(0) 有意義嗎?

    即使你自己定義 g(0) 的值為何
　　最後變成  g'(x) 對所有 x屬於R  都能討論
    但是

      g'(0) 跟 f'(0) 還是一點關係都沒有

    不要混為一談

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
→ midarmyman:g'(0)=1
→ midarmyman:我覺得他給if x=\=0好怪歐
           g'(0) = 1 ?
           請問您怎算的?

           且 g'(0) 是多少不重要
　　　　　 但還是可以算 f'(0)

                                f(x) - f(0)　        　g(x) - 0
　　　 　　因為  f'(0) =   lim  ___________　 =　 lim  ________
                          x→0     x - 0　　　　 x→0　 x - 0

           注意到我用顏色區別
　　　　　 極限的意義是
　　　　　 它只考慮 x=0 的 "鄰域"
　　　　　 而不會直接考慮 x=0 本身
　　　　　 所以 f(x) = g(x) 是因為  x≠0 所致
           而  f(0)=0  則是套題目假設的  f(0)=0  if x=0

　　　　　 我這兩個條件就足夠算出 f'(0)
　　　　　 請問跟  g(0) 是多少有任何關係嗎?

→ zptdaniel:有啥好怪的?
→ midarmyman:g(0)不是零嗎?
              ^^^^^^^^^^^^^
             直觀上 0乘上一個有限數還是0
             但遇到分母有出現 0 的case
             數學家還是選擇避開它不談
　　　　　　 即使結論再怎麼的直觀

             此提的 f(x) 只需要 g(x)  x≠0 值域
             所以我可以不用去 define g(0) 是多少
             我也能 define  g(0) = 100  or  1000 or ...
             但有影響到  f'(x) 的整個值域嗎 ?

→ zptdaniel:不懂你的問題在哪@@
推 midarmyman:因為g(0)=0那位啥他還要給一行說
→ midarmyman:ifx=0 f(x)=0
         那是因為你從小到高中所接觸的函數
　　　　 大多數是 continuous and smooth for all domain
         (少部份如 f(x) = |x| 等)
         到大學開始慢慢接觸 piecewise conti. or smooth 會覺得怪怪 蠻正常的
　　　 　( 此題的 f(x) 是 piecewise smooth )

         習慣一下那種寫法吧 OTZ
         函數是可以自己定義的
　　　　 而非 指數函數、多項式函數、三角函數 (or 合成，反函數)　才能叫函數XD

         只要定義域的每個 element 你都能明確 define 它會 map 到哪個值域
         這就形成一個函數對應了

推 mp79336:g(0) = 0 !
           ^^^^^^^^
           理由同上...
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (10/10 13:36)
推 midarmyman:看原文 我算式改了
→ midarmyman:最後lim sin(1/x)/(1/x)=1
→ doom8199:... f'(0)=0 XD
→ doom8199:若要寫成你那種型態，分子是有限數政盪
→ doom8199:分母則是無窮大，直觀上看怎會是 1 = =
→ doom8199:x 趨近無窮大，那個極限才會是1
推 midarmyman:那位啥limx→0 sinx/x=1?
→ midarmyman:不能把1/x換成u之類的嗎
→ midarmyman:我會了
→ midarmyman:我極限忘了跟著換@@ SORRY
→ Honor1984:很單純 真得不要想太多XD
→ Honor1984:推錯文了...抱歉
→ mp79336:如果你在美國學微積分 最起碼我碰到的教授
→ mp79336:都是教g(0) = 0 題目已經幫你定義是0
→ mp79336:沒有理由你自己訂100或其他數字 我並沒有
→ mp79336:看題目只是純粹對此句話有不同看法
         請問美國教的微積分 g(0)=0
         跟我自己假設的  g(x)=x^2sin(1/x)  if x≠0 有啥關係...
　
         若照你這樣說
　　　　 美國學生看到這題不就跟 原po 一樣都有以下的疑問:
           " 題目一開始給f(x)=0 ifx=0感覺很多餘? "

         那題目就直接改成  f(x)=x^2sin(1/x)  for all x屬於R 就好了
         為何還要特地分 case 討論?
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.141.151      (10/11 02:05)
→ mp79336:首先 我已經說 我並沒有看題目!
→ mp79336:只是純粹對你g(0) 的說法 提出不同的意見
→ mp79336:你好像是說 你可以自己定義g(0)為100或任
→ mp79336:何數 我從頭到尾沒有對 x=0以外的數字有
→ mp79336:任何說法!"多餘"論 是你自己送給我的
→ mp79336:況且照你的說法 才是X=0的地方多餘吧?
→ mp79336:反正你可以自己定義?
→ doom8199:反了，就是因為不是多餘，才會自己定義
→ doom8199:只是用不用的到而已
→ doom8199:若是多餘，何須定義?
→ doom8199:你今天針對的是   x^2sin(1/x)  這個函數
→ doom8199:它在 x=0 下的值為何
→ doom8199:我所定義的 g(0) , 跟這個函數有啥關係
→ doom8199:當 x≠0 , x會map到  x^2sin(1/x)
→ doom8199:當x=0 , 我沒去 defined
→ doom8199:這就是我自己定義的函數 g(x)
→ doom8199:你說你內文都沒看就直接冒出 g(0) = 0
→ doom8199:我當然會這樣說...
→ mp79336:看了題目也不懂是因為sin(1/x)
→ mp79336:到底是exponent? 還是? 所以我希望從大家
→ mp79336:的回應中看懂題目結果就看到你在自己定義
→ mp79336:那題目寫那句g(0)=0什麼意思呢?
→ mp79336:我說g(0) = 0這句話 因為我在題目上看到
→ mp79336:難道這樣有問題嗎?  或許你認為不嚴謹?
→ mp79336:但題目的確是這樣寫吧? 就字面上來說
→ mp79336:好像沒錯吧
→ doom8199:請問我哪裡有打 g(0)=0 ?
→ doom8199:我內文只說 g(0) 可以自己 defined
→ doom8199:或是你說的"題目"是指其它@@?
→ doom8199:明明就是你一開始推文說 g(0)=0 !
→ doom8199:怎麼反過來說我自己定義 g(0)=0 ...
→ doom8199:可以請你把邏輯說清楚嗎　＝＝
→ mp79336:你的邏輯才要搞清楚吧?我何時說你說g(0)=0
→ mp79336:我是說 題目寫!! 可以看清楚再來長篇解釋
→ mp79336:嗎? 我從來沒說你說! 你如果是這樣說
→ mp79336:我還要說嗎? 邏輯一百分?