Re: [微分] 很簡單

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.233.43.76
→ midarmyman:我想一下@@
推 midarmyman:題目一開始給f(x)=0 ifx=0感覺很多餘?
→ midarmyman:感覺要回到導函數的定義求法
確實是這樣阿


不知道midarmyman昨天晚上後來有沒有去查導函數和導數相關的定義

                   f(x+h) - f(x)
導函數f'(x) = lim  --------------
              h->0       h

所以你給的函數f'(0) = 用上面這個方式求得的值 = 0


這是對的


其中f(0) = 0就是題目給的


但是有一點你要注意的是lim  f(x) = 0 這個值0未必一定要是f(0)
                      x->0

這次題目剛好讓它=0是因為這樣就滿足lim f(x) = f(0)連續的性質
                                  x->0

( 因為x^2 sin(1/x)在x=0的左右極限都剛好是0 )


f(x)就有連續的好性質


記得很多書上極限單元都會畫很多圖


告訴你什麼是極限值未必要等於函數在那點的值


這裡的意思就是這樣


另外2xsin(1/x) - cos(1/x)因為是在x^2 sin(1/x)有定義的區間微分


所以2xsin(1/x) - cos(1/x)在 x=0+ 與 x=0- 的極限代表lim f'(x) 與 limf'(x)
                                                   x->0+        x->0-

事實上前面一篇我也把左右極限的特性描述出來


是屆於在-1 ~ 1之間震盪得很厲害


不是1或者-1任何一個這樣單純的特定數值


但是同前面題到的的


lim f'(x)  或者 limf'(x) 未必要和f'(0)相等
x->0-           x->0+


這代表f'(x)的導函數在x=0上不連續


然而f'(x) 在 x=0 處就只有一個值


那就是f'(0)  (前面導函數代x=0的結果或者直接從導數定義做)


你不妨就把f'(x)看作是另外一個函數h(x)


再用上從前對於極限的定義


就不難理解


你甚至就把全部的函數都看作是一個點一個點的定義都沒關係


有時候這樣更能有效理解這題要問的重點

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 122.124.99.26
→ Honor1984:另外 7251篇就幾乎和這題很像 不知道你
→ Honor1984:有沒有注意 define f(x)=e x=0 的意義就
→ Honor1984:和x^2 sin(1/x)這題類似
→ Honor1984:但是有個關鍵點 為何我在那題可以直接把
→ Honor1984:lim ... = -f'(0) 這個你也可以想一想和
→ Honor1984:本題差在哪裡
→ doom8199:這跟原po要問的問題沒啥關係吧～～
→ doom8199:原po把微完的函數 用0帶入,而非 用0逼近
→ doom8199:但原po錯把 g(x) = x^2sin(1/x) if x≠0
→ doom8199:f'(0) = g'(0) , 但實際上那兩個導函數
→ doom8199:一點關係也沒有
→ doom8199:   　　　　　　　　　　　　　 導數
→ doom8199:討論 f'(x) 在x=0是否連續又是令一回事了
→ Honor1984:他把微分之後直接代0 做的就是那件事
→ Honor1984:就像stepfunction x>0的部分直接代入零
→ Honor1984:以為是1 但實際上H(0)可以不是1
→ doom8199:但我覺得還是要分開討論
→ doom8199:因為可以直接微出導函數，是因為我們所知
→ doom8199:的函數在domain上是連續可微的
→ doom8199:微完後的函數又是初等函數的組合
→ Honor1984:直接微分出來的函數代0的意義 或者嚴格
→ doom8199:所以在某些domain上也是具有連續可微特性
→ Honor1984:講是極限 其實是x=0兩邊的左右極限
→ doom8199:但 "導函數" 其實就只是 "導數" 的"集合"
→ doom8199:也沒有一個定理說導函數會有連續特性
→ Honor1984:沒錯阿 所以我說只要看導函數定義就解決
→ doom8199:只是事後求出導函數後會發現有連續
→ doom8199:不連續而已，跟求導數還是兩回事吧～～
→ Honor1984:我從來也沒說導函數一定要連續 怎麼得出
→ Honor1984:在x>0 x<0範圍直接微分 這沒有異議吧
→ doom8199:我也沒說導函數一定要連續...
→ doom8199:我的意思是，用 limf'(x)  if x→0
→ doom8199:跟 f'(0) 沒關係
→ doom8199:您所打的這篇再說這回事
→ Honor1984:f(0) = 0多餘的 這個不是我說的XD
→ doom8199:但還是沒點到為何沒關係
→ doom8199:ㄟ兜　我知道XDD
→ Honor1984:對阿 在x=/=0的地方 我就直接用f'(x)代
→ Honor1984:替
→ Honor1984:所以我說不能2xsin(1/x)-cos(1/x)直接求
→ Honor1984:f'(0) 就是他以為直接代0這件事
→ Honor1984:f'(0)和2xsin(1/x)-cos(1/x)從導函數定
→ Honor1984:義看就不見得要是一樣 即使f(x)在x=0連
→ Honor1984:定義都沒有 也是可以有左右極限
→ Honor1984:所以h(0)和h(0+)h(0-)沒關係 不就很自然
→ Honor1984:我了解你說的 但是我這邊只是就f(x)本身
→ Honor1984:的性質來看 你是把f(x)的一部分當成另一
→ Honor1984:個完全不同的函數看待 在這裡殊途同歸
→ Honor1984:我不覺得意義上有什麼衝突 有衝突就糟了
推 doom8199:我覺得你的解釋有點像是:
→ doom8199:f'(x) 可以直接帶0 ,是因為f'(x) 在
→ doom8199:x=0 連續。但 f'(x) 在x=0 不連續
→ doom8199:所以不能那樣帶，要由導函數定義求
→ doom8199:但我還是覺得原po問題用導(函)數定義
→ doom8199:就能知道他哪裡錯了
→ doom8199:跟 f'(0+)  f'(0-)  沒啥關係~~
→ doom8199:即使原po把0帶入他所求的導函數
→ doom8199:很像是 "取極限"，但那並非其原因
→ doom8199:導(函)數 定義死死的，套下去一定沒錯
→ doom8199:我會假設 g(x) 這個函數，只是方便原po
→ doom8199:可以了解 f(x) 這個函數是如何做 mapping
→ Honor1984:你搞錯了 我第一開宗明義就是用導函數
→ Honor1984:所以f'(0)就是由導函數得到的 文中說得
→ Honor1984:很清楚 我也告訴他微出來的直接代0的意
→ Honor1984:思是什麼 並不一定是f'(0) 用導數定義求
→ Honor1984:得的f'(0)是一定對的 就這樣 沒有衝突
→ Honor1984:我有事先出門一下~~
→ doom8199:ㄟ兜，我幫你把這篇重點點出來:
→ doom8199:<1>  h(0)  套導(函)數定義求出
→ doom8199:<2> h(0+) h(0-) 不一定要等於 h(0)
→ doom8199:其中 h(x) for x≠0 等於原po求的導函數
→ doom8199:但你還是沒點出為何 <2>的h(0)
→ doom8199:跟 <1> 的h(0)  是不一樣的
→ Honor1984:<1>和<2>的當然是一樣的阿 一個f會有兩
→ Honor1984:個f'(0)嗎?  呵呵
→ Honor1984:我的意思是所有的包含微分出來的函數都
→ Honor1984:只要用導(函)數定義去做 根本就不必管你
→ Honor1984:所謂的什麼g'(0) 對f(x)就只有f'(0)
→ Honor1984:f(x)要不然有一個f'(0) 要不然沒有
→ doom8199:我指的不一樣是指用微分求得的 h(x)
→ doom8199:直接帶0 跟用導數求的 h(0) 不一樣
→ doom8199:原因是微分求得的 h(x) 條件為x≠0
→ doom8199:跟 h(0) = ? 一點關係都沒有
→ doom8199:但您所說的 <2>點 跟這件事沒有關係
→ doom8199:雖然講的東西都對，但有沒有回答到原po
→ doom8199:的問題才是我再說的重點 OTZ