→ Honor1984:不用吹毛求疵挑筆誤 那不是重點 122.124.97.177 10/11 17:55
→ Honor1984:你所說我的問題不過是很基本的微積分內 122.124.97.177 10/11 17:57
→ Honor1984:容 我還不至於真搞不清楚 勿打帶跑 122.124.97.177 10/11 17:57
※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: 首先符號約定
: h(0):導數定義求得的值 h_2(0):g'(0) h(0+):f'(0+) h(x)=f'(x)
: ^^^^^^
: ↑請注意符號
: 你在推文中質疑1.我沒有點出<1>的h(0)和<2>的h_2(0)不同
: 2.f(0+),f(0-)跟他問的問題沒有關係
: 我想分別釐清回答
: 1.
: h(0)和h(0+),h(0-)不必要不一樣
: i)可以有一樣的情況 if f'(x)連續 h(0+) = f'(0) = h(0-)
: ii)不一樣的情況 if f'(x)不連續 也就是 h(0+)或h(0-) =/= f'(0)
: 到此為止 跟g(0) g'(0)一點關係都沒有
: f(x) = x^2*sin(1/x) x=/=0
: 0 x=0
: h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) x=/=0
: 0 x=0
: h(x->0) ~ xsin(1/x) - cos(x+1/x)
: h(0+),h(0-) ~ -cos(x+1/x) 越接近0 h(x)於[-1,1]之間震盪越厲害
: lim h(x) not defined lim h(x) not defined
: x->0- x->0+
: x > 0及x < 0從兩邊往x = 0逼近 永遠到不了x = 0
: 但是因為f(0)定義了 = 0 f(x)被強迫約束並且到達到0
: 又-x^2 < f(x) < x^2 於x->0 振幅->0 f(x)=0之點於越靠近x=0之鄰域有無限多點
: => f'(0) = 0 這就是為什麼lim h(x) not defined lim h(x) not defined
: x->0- x->0+
: h(0+),h(0-)為何不等於h(0)的原因
: 從頭到尾都不需要也碰不到h_2(0)
: 你要我怎麼點出h_2(0)和h(0)是不一樣的？
: h_2(0)和h(0)一不一樣有那麼重要嗎？ 一樣跟不一樣都不會影響任何結果啦!
: 因為h(0)只會有一個值 或者根本沒有值 但就是不會有兩個值(指h_2(0))
: 2.
: 設f(x) = x^2 * sin(1/x) for x=/= 0
: f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 將x=0代入 發現不會是一個常數值
: 難道這就表示h_2(0)??
: 我前面已經說過2x*sin(1/x) - cos(1/x)根本跑不到x=0
: 就拿k(x) = 1/x for x=/=0 當例子 代x=0進去 發現發散 難道這就表示k(0)?
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 當然是指lim k(x)簡寫k(0+) 及lim k(x)簡寫k(0-)
: x->0+ x->0-
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ??????
: 要不然為何要寫for x=/=0?
: 所以把x=0代入偶函數f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 這個動作對f(x)代表的意義就是h(0+),h(0-) 絕不是h_2(0)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ??????
: 到此為止 跟g(0), g'(0)=h_2(0) 一點關係都沒有
: 有關的只是h(0+),h(0-)
: 所以我很納悶f'(0+) f'(0-)怎麼會跟原po問的沒有關係？ 關係太大了！
: 反倒是一直提g(0)g'(0)的問題 實際上根本就沒有碰觸到
: 哪來的g(0) g'(0)的問題?
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你那幾句話不覺得怪怪的嗎＝＝
終於知道你問題出在哪
原本還以為您講的東西都對:
k(x) = 1/x for x≠0
你說 x=0 帶入，發現發散
請問如何得知為發散?
您所定義的函數 k(x)
當 x=0 , k(0) map 到哪個值域去
您有定義嗎?
照你的邏輯
" 將x=0帶入 k(x), 當然是指 k(0+) 及 k(0-) "
我有沒有看錯 ＝＝
原來中文的帶入還可以因為函數定義域的不同
而修改成逼近
這麼人性化？
舉個例子:
假設 f(x) = (sinx)/x
請問 f(0) = ?
很明顯 f(x) 在 x=0 沒定義
所以 f(0) 是多少，不知道阿
我只知道 f(0+)=f(0-)=1
如此而已
但您怎能說 " 將x=0帶入 f(x) , 當然是指 f(0+)=f(0-)=1 " ?
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再回來看原po問的
我把他第二篇回的內容節錄下來:
'''''
所以我就試試看把xsin(1/x)微分
再把0帶下去 結果竟然不一樣
其實不能微分再代0的
'''''
並非我在玩文字遊戲
而是原 po 從一開始就用 "帶入" 這個動作來表示
這用數學語言應該表示成 : f'(0) , 而非 lim f'(x) 吧
x→0
就如您所說的
h_2(0) 這東西根本就沒被定義 ( 就是我ㄧ開始po的 g'(0) )
但是
但是
但是
原po他正是在嘗試求 h_2(0) 阿＝＝ （雖然是不可能求出來,因為沒定義）
若原po所謂的 "帶入" ,是用逼近的概念去求 lim f'(x)
x→0
那我自己就無言了
因為變成是原po他自己錯用動詞
但從一開始到現在
我沒看到原po有說 " 用 x→0 去求 f'(0) "
所以
所以
所以
怎麼會跟 lim g'(x) or lim f'(x) 有關係呢?
x→0 x→0
但你竟然把帶入誤用成趨近 OTZ... ( 對此case來說是 )
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我舉個簡單的例子好了:
f(x) = ┌ x^2 if x≠1
└ 1 if x=1
* 原po一開始的想法:
lim f(x) = 1^2 = 1
x→1
所以 f(x) 在 x=1 連續 （好高興︿︿）
那我就嘗試把 x^2 對 x微分:
f'(x) = 2x
帶 x=1 進去 , 得 f'(1) = 2
若套導數的定義:
x^2 - 1
f'(1) = lim _______ = 2
x→1 x - 1
兩者會相等︿︿
以後就這樣做好了︿︿
* 我的想法:
首先原po用微分算出來的導數不叫 f'(0)
假設 f(x) = ┌ g(x) if x≠1
└ 1 if x=1 for g(x)=x^2
則原po那樣微分的意思是:
g(x) - g(1)
g'(1) = lim ___________
x→1 x - 1
請問 g'(1) 有被 defined 嗎?
很明顯沒有
因為根本不知道 g(1) 是多少
那為何 g'(1) 那樣帶入會有值?
是因為 原本的 g'(x)=2x 只有限定 x≠1 的case
原po卻把 x=1 的case也當成是 "有定義" 而拿下去算
這蘊含著原po承認 g(0)=0 (這部份的邏輯與證明我就省略不說了XD)
但若我定義 g(1) = 0 好了
這樣 g'(1) 就會變成正負無窮大而發散
x^2 - 0
因為: g'(1) = lim _______ 發散
x→0 x - 1
所以 g'(1) 跟 f'(1) 一點關係都沒有
^^^^^
這是原po再做的事
* Honor大的想法:
bra bra bra.... (講的東西都對)
f'(1+) 、 f'(1-) 跟原po講的東西關係可大了!
* 我對 Honor大 所回的文章疑惑點:
原po 明明 明明 明明 明明 就是用 "帶入" 表示他在求 g'(1)
H大怎 一直 一直 一直 一直 堅持說 原po再用逼近求 f'(1+) f'(1-) ?
阿 f'(1) 不是翻成: f'(x) 用 x=1 帶入 ?
lim f'(x) 不是翻成: f'(x) 用 x去 逼近 x=1 點 ?
x→1
請問原po到底在說哪個阿?
原po兩篇文章
哪裡有說用到逼近這個字眼?
若教學生
可以跟學生說: set f(x) = 1/x for x≠0
when x=0 , this mean f(0+) and f(0-) ????
明顯不對吧!
要也是說成: when x=0 , f(0) is not defined !
你自己去比對一下我上面所舉的那個例子
用極限去詮釋
很明顯跟原po問的一點關係也沒有
即使我舉的例子是 f'(0)=f'(0+)=f'(0-)
正解求 f'(0) , 您知道、我知道、獨眼龍也知道
但原po所求的東西
你確定是 導函數的極限值 嗎 ?
還是 導函數的值 ?
若你還是堅持原po再求 導函數的極限值
那我也無話可說了＝＝
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