Re: [積分] beta function

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: ∞     x^(p-1)          π
: ∫---------------dx=-----------
: 0        1+x           sinpπ

這個積分在所有複變課本內容或者習題中是一定會有的
這是基本複變定積分的範圍

但是複變最常用在求"定"積分的求值上(優點)
卻很難得出相對應的展開式(缺點)
微積分剛好相反

因為這板是講微積分
我就用微積分的方法做出來

 ∞     x^(p-1)
 ∫---------------dx
 0        1+x


   1 x^(p-1)         1 x^(p-1)
= ∫--------dx   +  ∫---------dx
   0  1+x            0  1+x

  ∞     (-1)^k        (-1)^k
= Σ  [---------  +  ----------]
  k=0    k-p+1           k+p

  ∞    (-1)^k
= Σ   --------
 k=-∞  p  + k

到這裡為止微積分的工作就結束了
這就是我上面說的
這是微積分的缺點
同時也是優點

這個級數同

       1
= π----------
     sin(pπ)

: 我換到三角函數變這樣
:  π/2                  2
: 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ
:  0
: 然後就寫不下去了@@
: 幫幫忙囉

你要換算成這個樣子的目的是要使用Beta或者Gamma函數
但是除非你已經先把他們某些互相或者各自的關係式記下來
否則你只是寫出他們的形式
並不能得到最後的closed form
只能表達定積分可用他們表示

因為會特別立出來Beta函數或者Gamma函數
除了他們的應用外
這些函數的求值一般微積分是沒辦法直接求出來的

但是既然書上將最初的積分化成這個樣子
就表示它要使用Beta或者Gamma已知的關係來"求值"

但是Beta和Gamma函數有很多關係
你只要背其中幾點
自然其他等價的關係都應該可以推導出來

其實你給的原積分式本身就是一種Beta函數B(p,1-p)

  π/2                  2
 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ
   0

 t = (sinθ)^2

   1
= ∫ t^(p-1) * (1-t)^(-p) dt
   0


= B(p,1-p)


   Γ(p)Γ(1-p)
= -------------
     Γ(1)

    π
= -------
  sin(pπ)


也可以像你化簡成那個三角函數的積分看出是B(p,1-p)
就看你關係式背多少
                                                          π
假如你只有背最基本的Beta和Gamma表達式以及Γ(x)Γ(1-x)= --------
                                                       sin(πx)

從你變數變換後的式子開始出翻

   1                    2
 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ
   0

  π/2
= 2∫ (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) dθ
    0

    ∞π/2
  2∫∫ r * exp(-r^2) * (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) drdθ
    0 0
= ---------------------------------------------------------------
                          ∞
                         ∫r * exp(-r^2) dr
                          0

   (1/2)Γ(1-p)Γ(p)
= --------------------------
        (1/2)

     π
= -------
   sin(pπ)

--
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◆ From: 122.124.106.63
推 G41271:為什麼Γ(1-p)Γ(p)=π/sinpπ
→ G41271:我的意思是看過Γ(1-p)Γ(p)=π/sin(pπ)
→ G41271:的證明是由∫x^(p-1)/(1+x)下推出來的
→ G41271:這題換回Gamma是否有循環論證的毛病
→ Honor1984:我文中已經說得很明白 你要先知道關係式
→ Honor1984:用關係式求值 你把文字部分看一遍
→ Honor1984:Γ(1-p)Γ(p)=π/sinpπ的推導可以由複
→ Honor1984:變 或者單純三角函數還有極限概念求得
→ Honor1984:∫x^(p-1)/(1+x)和從Gamma乘積或者Beta
→ Honor1984:出發都一樣 這些都是等式 得到的答案會
→ Honor1984:一樣是合情合理的
→ Honor1984:如果G41271看過除了我推文所指π/sinpπ
→ Honor1984:證明過程的方式以外的方法 特別是光用積
→ Honor1984:分技巧可以積出來的 麻煩請貼在板上 我
→ Honor1984:也有興趣知道^^
推 G41271:三角函數法?要怎麼推呢? 謝謝
→ G41271:哦 我印象中只看過積分x^(p-1)/(1+x)的方法
→ G41271:偏偏復變沒學好,所以一直對此性質不太滿意
→ Honor1984:所以你指的積分是複變積分嗎?
→ Honor1984:另外一個方法是從sinx的展開式得到本文
→ Honor1984:單純微積分得到的級數相比差一倍數  但
→ Honor1984:已經離題很多了 即使用複變 在本板也不
→ Honor1984:是很恰當
推 G41271:是的 此積分可用複變求得為π/sinpπ
→ midarmyman:謝H大
→ Honor1984:G41271 我在下一篇做出π/sin(pπ)的結
→ Honor1984:果 因為原積分式可通Γ(x)Γ(1-x) 所以
→ Honor1984:意思一樣