※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: ∞
: ∫cos(x^2)dx
: 0
: 之斂散性?
: 書上答案是收斂 詳解也很合理
: 可是某大說是發散 怪怪的
: 所以還是來請教大家看看
這題蠻技巧的，個人認為有需要考前再背就好了XD
∞ -y^2 √π
已知∫e dy=-----
0 2
令原式=I
∞∞ -y^2 √π π/2 ∞ -(rsinθ)^2 2
∫∫ e cos(x^2)dydx= -----I=∫ ∫ e cos(r^2 cosθ)rdrdθ
0 0 2 0 0
令u=(rcosθ)^2
π/2 2 ∞ -u(tanθ)^2 1 π/2 2 (tanθ)^2
=∫ secθ∫ e cos(u)d(u/2)dθ=---∫ (secθ)-----------dθ
0 0 2 0 1+(tanθ)^4
令tanθ=t
1 ∞ t^2 1 ∞ (-√2/4)t (√2/4)t
=---∫-------dt=---∫------------ + ----------- dt
2 0 t^4+1 2 0 t^2+√2t+1 t^2-√2t+1
1 ∞ (-√2/8)(2t+√2)+1/4 (√2/8)(2t-√2)+1/4
=---∫ ---------------------- + -------------------- dt
2 0 (t+1/√2)^2 + 1/2 (t-1/√2)^2 + 1/2
1 √2 t+1/√2 √2 t-1/√2 √2 t^2-t√2+1 ∞ π√2
=---[---arctan(-------)+---arctan(-------)+---ln(----------)] = -----
2 4 1/√2 4 1/√2 8 t^2+t√2+1 0 8
Sqrt(2π)
所以I=---------
4
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