[微分] 王博某題極限

[CDnow (冷凍中)]

題目如下：

         2      1
lim ﹝cot x - ──﹞= ?
x→0             2
                x

書上作法如下：

        2                  2   2     2           2     2           2     2
     cos x      1         x cos x-sin x         x （cos x - 1）+（x - sin x）
lim（─── - ──）= lim ─────── = lim  ──────────────
x→0    2        2    x→0   2   2         x→0             2   2
     sin x      x           x sin x                        x sin x

       2   2     2    2              2    2
     -x sin x+（x -sin x）          x -sin x         1     2
lim ─────────── =-1+lim ───── = -1 + ─ = -─
x→0        2   2              x→0   2   2          3     3
           x sin x                   x sin x

      2    2
     x -sin x           x-sinx   x+sinx      x   2     1           1
lim ───── = lim  ｛───‧────‧（──）｝= ─‧2‧1‧= ─
x→0   2   2     x→0       3      x        sinx       6           3
      x sin x              x


以上，小弟有在偉文上王博的課

老師是說這是利用等價做的

但是我疑惑的是該怎麼因式分解紅色字的部分

因為老師是一步就完成了這個動作

故我尚不知能有甚麼方法可以因式分解此式

懇請板上大大能為小弟解答，如題目有錯請指正

謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.115.213.44
※ 編輯: CDnow           來自: 140.115.213.44       (12/03 14:48)
→ n0204159:分母分子都多一個x
→ n0204159:a^2-b^2=(a+b)(a-b) 其他就差不多了
→ doom8199:有人也有寄信問我同樣的問題 OTZ
→ doom8199:前面的 (cotx)^2 可以寫成 (cscx)^2 - 1
→ doom8199:然後我是假設  f(x) = sinx / x
→ doom8199:看要代換 x 還是 sinx 都可以
→ doom8199:最後再慢慢湊出來。或是湊到一個簡單型態
→ doom8199:再用 L'Hospital 算出來(前提要很好微XD)
→ doom8199:不過前提是這樣算出來要能收斂
→ doom8199:若最後發先有某個子函數發散
→ doom8199:再用比大小的方式說明該函數發散即可