→ air11:我對sinh, cosh不太熟練....該好好學一下了 218.167.66.6 12/08 19:44
→ air11:不過sinh nθ換成sinhθ=x 那段好複雜= =" 218.167.66.6 12/08 19:45
→ air11:看不太瞭......大大說第二題的"橢圓積分" 218.167.66.6 12/08 19:46
→ air11:這是高微的？還是......?第一次聽過= =" 218.167.66.6 12/08 19:47
※ 引述《air11 (iNCCU)》之銘言：
: 想請教幾題不定積分
: 1. ∫(x^4)*sqrt(1+(x^2)) dx
我承認這不是好方法
4 5 4 5
令x=sinhθ，則原式=∫sinh θcoshθ d sinhθ=sinh θcoshθ- ---sinh θ
5
6
+∫sinh θdθ
θ -θ
6 e - e 2 3 1 3
其中∫sinh θdθ=∫((------) ) =---∫(cosh2θ-1) d 2θ
2 8
3 3 1
又因cosh 3t=4cosh t - 3cosh t => cosh t=---(3cosh t - cosh 3t)
4
2 2 1
cosh 2t=2cosh t - 1 => cosh t=---(cosh 2t + 1)
2
代入t=2θ得
3 1 3
∫(cosh2θ-1) d 2θ=∫---(3cosh2θ - cosh6θ)- ---(cosh4θ + 1)d 2θ
4 2
3 1 3 15
+---sinh2θ-2θ=- ----sinh6θ- ---sinh4θ+---sinh2θ
2 24 8 8
-5θ+ c
2 1/2
當然答案還要再把sinh nθ換成sinhθ=x, coshθ=(1+x )
至於怎麼換就讓我騙點P幣嘴炮一下XD
ix
在一般三角函數中我們知道e =cos x +isin x
ix*n -ix*n
ix*n n e + e
所以cos nx=Re{e }=Re{(cos x+isin x) }=--------------
2
n-k n-k
n n k n-k i +(-i)
=Σ C cos x sin x(------------)
k=0 k 2
ix*n -ix*n
ix*n n e - e
sin nx=Im{e }=Im{(cos x+isin x) }=--------------
2i
n-k n-k
n n k n-k i -(-i)
=Σ C cos x sin x(------------)
k=0 k 2i
回歸正題
x cosh x+sinh x -x coshx -sinh x
因為e =---------------，e =--------------- 感覺一下便得
2 2
-n n n n-k k
=> cosh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k為偶數
k=0 k
-n n n n-k k
sinh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k為奇數
k=1 k
: 2. ∫(x^2)*sqrt(1+(x^4)) dx
: 這題好像又比上題更難積= =||
根據線上integrator告訴我們
這個式子要用到橢圓積分
: -------------------------------------------------
: 順便請教一下
: 我們知道有些不定積分，是無論用什麼辦法都積不出來的
: 例如：∫e^(x^2) dx , ∫(sinx)/x dx
: 這些都是一般課本常見的
: 我想問的是
: 要怎麼判斷某些積分是跟上述的情形一樣
: 怎麼積就是沒有結果？
有時候可以用軟體幫你算
算不出來的話"通常"就是其結果不能用初等函數表示
(當然偶爾有例外XD)
: 畢竟不是每種情形，課本都會收錄
: 雖然一般考試(轉考、研究所)不會出這麼刁難的問題
: 不過我想知道一下，有沒有辦法可以判斷..
: 謝謝大大的幫忙！！
: 謝謝
: 感恩
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