Re: [積分]

[keith291 (keith)]

※ 引述《air11 (iNCCU)》之銘言：
: 想請教幾題不定積分
: 1. ∫(x^4)*sqrt(1+(x^2)) dx

∫(x^4)√(1 + x^2) dx =(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2)-∫(x^2)(1 + x^2)^(3/2)dx

                      =(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2)

                      -[(x)(1/5)(1 + x^2)^(5/2) -∫(1/5)(1 + x^2)^(5/2)dx]

                      =(x^3)(1/3)(1 + x^2)^(3/2) - (x)(1/5)(1 + x^2)^(5/2)

                       + (1/35)(1 + x^2)^(7/2) + C



: 這題我首先令x=tanθ
: 故原式會變成 ∫ (tanθ)^4 * (secθ)^3 dθ
: 接下來我想好久

令 u = secx + tanx

則 1/u = secx - tanx

du = secx(secx + tanx)dx

   = ((u + 1/u)/2)(u)dx

         2
故dx=---------du    且sec x = (u + 1/u)/2    tan x=(u - 1/u)/2
      u^2 + 1
                                                 1         sec x
已上積分方法可以將大多數帶有三角函數的分式(ex ------- = ----------- 然後代換 )
                                               1+sinx    secx +tanx

化成有理函數積分  進而可以用部份分式法處理

不用再想要如何湊同乘某神奇因子或多次分部積分的方法(ex  積(secx)^n )


: 順便請教一下
: 我們知道有些不定積分，是無論用什麼辦法都積不出來的
: 例如：∫e^(x^2) dx , ∫(sinx)/x dx
: 這些都是一般課本常見的
: 我想問的是
: 要怎麼判斷某些積分是跟上述的情形一樣
: 怎麼積就是沒有結果？

經驗

或者你可以適當變數變換加上分部積分進而推導出已知不可積的式子

那原式積分出來就不可表達成初等函數

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◆ From: 61.228.97.19
※ 編輯: keith291        來自: 61.228.97.19         (12/08 01:04)
→ yyc2008:呵呵 你時常宣傳sec + tan = u的好處XD
→ keith291:其實那是複製我之前打的文章XD
→ keith291:不過  也是因為我真的覺得滿妙的
→ keith291:當初學到之前沒想到可以這樣用
→ yyc2008:真得要拜平方差的公式 讓特定積分可系統有
→ yyc2008:理化  三角有三組  hyperbolic也有三組
→ yyc2008:有時候真得還蠻好用的
推 r19891011:如果x^4換成((1+x^2)-1)^2, x=tanθ
→ r19891011:這樣原式=∫sec^7-2sec^5+sec^3 dθ
→ r19891011:再用H大或K大的方法算也可以
→ air11:u = secx + tanx這招好厲害 XD 這是大大
→ air11:自己創出來的嗎？超強的啦！