Re: [積分] beta function

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 證明B(p,1-p)=pi/sinp(pi)  (0<p<1)
: 我用三角函數那個式子算不出來
: 懇請指教囉

  B(p,1-p)


     1
  = ∫ x^(p-1) * (1-x)^(-p) dx
     0

  令 x = (sinθ)^2

     π/2
  = 2∫(sinθ)^(2p-1)(cosθ)^(-2p+1)dθ
      0


  令 u = (tanθ)^2 或者乾脆從定義代換新變數u = x/(1-x)直接跳到第三行


     ∞
  = ∫ u^(p-1)/(1+u)  du
     0


     1 u^(p-1)         1 u^(-p)
  = ∫--------du   +  ∫---------dx
     0  1+u            0  1+u


    ∞     (-1)^k        (-1)^k
  = Σ  [---------  +  ----------]
    k=0    k-p+1           k+p


    ∞    (-1)^k
  = Σ   --------
   k=-∞  p  + k


　　 1    ∞    (-1)^k     (-1)^k
  = --- + Σ  [------- + --------]
     p    k=1   p + k      p - k

     1     ∞  π                                        1
  = --- + {Σ ∫[cos(p + k)x + cos(p - k)x]dx}  *    [--------]
     p     k=1 0                                      sin(pπ)

      1  π            ∞   1  π                                   π
  = {---∫2cos(px)dx + Σ ----∫2cos(px)cos(kx)dx cos(ku)}[   * [--------]
     2π 0             k=1 π  0                           u=0    sin(pπ)

                       π
  =   cos(pu)[   *  --------
             u=0     sin(pπ)

        π
  =  ---------
      sin(pπ)

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◆ From: 122.124.100.62
→ ntust661:推推
推 midarmyman:THX. honor
→ midarmyman:第二行有小錯誤 dt  dx
→ midarmyman:第三個等號後面怎麼來的
→ Honor1984:因為原本打t 後來乾脆換成x dt忘了換
推 midarmyman:第三個等號後面怎麼分成積分相加? 信
→ Honor1984:應該說第二個等號式定義
→ Honor1984:然後你導到三角函數 我寫反了 因為定義
→ Honor1984:是我後來加的
※ 編輯: Honor1984       來自: 122.124.99.126       (12/12 00:27)
推 midarmyman:第四個等號後面怎麼分成績分相加的?