Re: [積分] 二重積分

[G41271 (茶)]

※ 引述《tranquilitys (open)》之銘言：
: 直接積積不出來，用二重積分也積不出來，用極座標依然失敗...
:         _____
:   1   √x-x^2
: ∫  ∫  _____  ( x^2 + y^2 ) dydx
:   0  -√x-x^2
: 感謝。

看起來是極座標轉換,不過直接積沒道理積不出來.

   1   √x-x^2                       1                      ｜+√x-x^2
 ∫  ∫  _____  ( x^2 + y^2 ) dydx = ∫ [ y x^2 + 1/3 y^3 ] ｜         dx
   0  -√x-x^2                       0                      ｜-√x-x^2

1                                            1
∫ [ 2x^2 √x-x^2  + 2/3 √(x-x^2)^3 ] dx = ∫ 2/3 √x-x^2 [ 2x^2 + x ] dx
0                                            0

let x = 1/2(1+sinQ) , dx = 1/2 cosQ dQ , then √x-x^2 = 1/2 cosQ ,

1                                   pi/2
∫ 2/3 √x-x^2 [ 2x^2 + x ] dx = 2/3∫ 1/2 cosQ 1/2(1+sinQ)(2+sinQ) 1/2cosQdQ
0                                   -pi/2
      pi/2
= 1/12∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2 + 3sinQ + 2] dQ  ,中間那項3sinQ是奇函數,積分值為零.
     -pi/2

      pi/2
= 1/6 ∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2  + 2] dQ , 到這已經可以用beta function解決了,
      0

不過假設你不會,還是慢慢來吧

      pi/2                                pi/2
= 1/6 ∫(cosQ)^2 [(sinQ)^2  + 2] dQ = 1/6 ∫1/4(sin2Q)^2  +  (1+cos2Q) dQ
       0                                   0
       pi/2                                                              pi/2
=  1/6 ∫1/8 (1-cos4Q) + (1+cos2Q) dQ = 1/6 [9Q/8 -1/32 sin4Q +1/2 sin2Q ]
        0                                                                0

= 1/6 *9/8 *pi/2 = 3/32 pi


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※ 編輯: G41271          來自: 220.141.193.169      (12/26 20:09)
推 tranquilitys:先謝過 我先抄起來研究一下..
→ tranquilitys:感謝!!