Re: [積分] 四題考前復習題 明天要期末考

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《judelawww (  )》之銘言：
: 這四題老師說比較難一點 我有些連題目都看不懂要幹麻 超悶
:                                                           f(x)
: 1.If f is a quadratic function such that f(0)=1 and  ∫───── dx
:                                                        x^2(x+1)^3
:   is rational function, find the value of f'(0).

      A         B            C
   ------- + -------   +  --------
     x^2      (x+1)^2      (x+1)^3

    (A+B)x^3+(3A+B+C)x^2+(3A)x+(A)
=  ---------------------------------
       x^2(x+1)^3

=> A = 1

f'(0) = 3A = 3

: 3.Find the value of the constant C for which the integral
:    ∞     1            C
:   ∫  ────  -  ────  dx  converges. Evaluate the integral for this
:    0   _______        x+2                                           value.
:      √x^2 + 4

不定積分 = ln[x + √(x^2+4)] - Cln(x+2)   基本積分

lim ln[x + √(x^2+4)] - Cln(x+2) - [(1-C)ln2] = finite
x->∞
         x + √(x^2+4)
=> lim  -----------------  介於0和∞之間
   x->∞   (x+2)^C

=> C = 1

=>定積分 ln2


: 非常感謝各位高手><

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◆ From: 122.124.104.198
推 midarmyman:不塊是HONOR大 我算到一半就被PO完了
→ Honor1984:第三題如果不要求求值 應該有更快的方法
推 midarmyman:問一下分項分式那邊 為啥分母(x+1)不用
→ midarmyman:假設
→ Honor1984:因為這樣積出來就不是有理函數了
推 midarmyman:蝏穨P斷
→ midarmyman:怎麼判斷的
→ Honor1984:S dx/x = lnx =/= 有理函數
→ midarmyman:thx
推 midarmyman:這樣假設跟一般不同 不會有影響嗎
→ Honor1984:題目怎麼講 就怎麼設 否則多設多麻煩
→ midarmyman:像分母x^2那項一般不是(A/x)+(B/x^2)
→ midarmyman:可是對於分項分式的假設不是有個規則嗎
→ midarmyman:如果沒假設到後來會算不出來
→ Honor1984:對阿 但是題目說是有理函數 只能 0/X
→ Honor1984:你可能要再重看一遍題目的意思
→ midarmyman:所以他分母才要設計成x和x+1才容易看囉
→ Honor1984:不一定吧 怎麼容易看?
推 midarmyman:一看就知道積分有ln就不對了
→ Honor1984:你說的可能沒錯  但是(x^2+x+1)也一樣可
→ Honor1984:只是到最後比較難算 這不是題目想要考的
→ Honor1984:題目想考的是積出來有理函數 再複雜沒意
→ Honor1984:義 只是增加考生算錯的機會 失焦
推 midarmyman:嗯 我懂你意思 謝囉
推 judelawww:第一題懂了!!感謝!!(正在看下一題)
推 asdlkjfgh:第三題也懂了!但有小問題想寄信給您
→ asdlkjfgh:阿 不好意思 這是我另一個帳號:P
→ Honor1984:已回信