推 TreeMan:oh..這太神奇了，感謝大大的分享 61.230.114.233 02/05 10:42
→ TreeMan:我沒想到要擴張領土XD，我是想在既有的R域 61.230.114.233 02/05 10:43
→ TreeMan:向上多蓋，因為在這區域f(x,y) max為1，用 61.230.114.233 02/05 10:43
→ TreeMan:∫∫1dxdy去算，結果1>π/4...唉 61.230.114.233 02/05 10:44
※ 引述《TreeMan (好啊...)》之銘言：
: 最近寫了微積分課本習題，有兩題積分與解答不同又想不出為何
: 附上我的計算過程，懇請各位看看是否哪裡有誤，或者解答錯了...
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: 1.求在圖形z=0和z=h之間，在柱面x^2+y^2=1之外，
: 並且在雙曲面x^2+y^2-z^2=1之內的立體體積。
: 計算如下：
: z=+√(x^2+y^2-1)，令x=rcosθ, y=rsinθ
: z=√(r^2-1), 1≦r≦√(h^2+1), 0≦θ≦2π
: 2π √(h^2+1) 2π √(h^2+1)
: ∫ ∫ √(r^2-1) rdrdθ=∫ (1/3)*[(r^2-1)^(3/2)│]dθ
: 0 1 0 1
: =(2*π*h^3)/3(我得到的答案)
: 但解答是(π*h^3)/3
我覺得你是對的
: --------------------------------------------
: 2.是非題
: 1 1
: ∫∫ 1/(1+x^2+y^2) dxdy < π/4
: 0 0
: 解答是yes
: 這題我沒有頭緒，請問要怎麼分析這題？
我提供一個奧步
π √2 r π
原式 <---∫ -----dr=---㏑√3，其中㏑√3<㏑e=1 (因為指數函數在此嚴格遞增)
4 0 1+r^2 4
在此我只是把積分域從 0<或等於 x,y<或等於1 擴大到 x^2 +y^2 =2在第一象限的扇形
剛好把原來的積分域整個包住
然後被積分的函數又恆正
所以原式<π/4
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