Re: [微分] 一題極限

[PaulErdos (My brain is open)]

首先
                ＿
請你考慮 lim  √x
         x→0


按照你的說法  是不存在

可是它是零喔

你可以用軟體跑一下



※ 引述《keith291 (keith)》之銘言：
: ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言：
: : 不對
: : 它的定義域是 (0.∞)
: : 所以根本就只有右極限可言
: : 沒有什麼左極限存不存在的問題
: : 左極限?  你要怎麼左?
: : 請回歸定義
: : for any ε＞0
: : there exists δ＞0
: : such that
: : │f(x)－L│＜ ε   whenever │x－0│＜δ
: : 什麼是│x－0│＜δ ?
: : 那就是x落在 (0,δ)這個區間內
: 錯了
: whenever │x－0│＜δ
: 即-δ < x＜δ 的 "所有x" 都要滿足│f(x)－L│＜ ε  (附帶一提 應該是
: 0 <│x－0│＜δ因為x=0那點我們並不關心  故所有x不用包含x=0)


= =

那個函數的定義域就沒有負的

你到底為什麼要指派 (-δ,0)這部份給它


在它的定義域 (0,k)  裡面

滿足  0＜│x－0│＜δ       δ小於k   的時候

當然就是(0,δ)這區間

你怎麼會寫(-δ,δ) ....

-δ是哪裡蹦出來的?  定義域裡根本沒有呀


這有很難懂嗎?

這時候 0＜│x－0│＜δ  和 0＜ x－0 ＜δ 是不是完全相同?

-δ < x＜δ 的 "所有x" 是不是就等同於 0 < x＜δ 的 "所有x"  ?

還是你能給我反例 指出某個點符合左邊不等式但不符合右邊不等式嗎?



: : 而非x落在(-δ,δ) , 再讓你分成 (-δ,0)和(0,δ)分開看
: : 因為x沒機會落在0的左邊
: : 這並非左極限不存在
: : x從來就左不了
: 極限的精確定義:
: Let f be a function define on some open interval that contain
: the number t,except possibly at t itself.Then we say that the limit of f(x)
: as x approaches t is L and we write lim f(x) = L
:                                     x→t
: if for every numberε＞0,there is a number δ＞0
:  such that │f(x)－L│＜ ε   whenever  0 <│x－t│＜δ
: 這函數定義域是(0,∞)根本不滿足  contain  "0" 這個數的條件


本來就不需要了

我前面確實漏打了   應該寫   0＜│x－0│＜δ  你也幫我糾正了

這裡也寫 except possibly at t itself

你怎麼又把它當條件了 ?


: 然後
: 此函數滿足右極限存在條件:
:                           lim f(x) = L
:                          x→t+
: if for every numberε＞0,there is a number δ＞0
:  such that │f(x)－L│＜ ε   whenever  t < x < t+δ
: 所以此題的確只存在右極限
: 不存在我們一般指的極限
: 因為我們一般常用的極限全名其實是"雙邊極限"(two-sided limit)
: 他的左極限根本不存在了  何來存在雙邊極限?


我怎麼覺得你這一段不是在支持自己= =

看清楚一點  這一段哪裡使此例不合ε-δ定義了 ?

指出來給我看




你現在的問題之一在於

你要搞清楚  什麼叫左極限"不存在"

就是我的x從指定點的左邊趨近它  卻極限(值)不存在


可是現在定義域根本不包含指定點的左邊

這樣根本談不上從左邊趨近

那這樣我怎麼可以說是左極限(值)不存在呢 ?



所以 一種情況是可以做左極限  但做出來是極限值不存在

     以定義來看的話  就是當  0 < t－x ＜δ 時

     不管我如何讓δ繼續變小  │f(x)－L│都沒有辦法小於ε


     這叫做極限(值) 不存在




     另一種是根本沒有左極限可言,  這跟極限值不存在是不一樣的

     當  0 <│x－t│＜δ 時  其實就是    0 < x－t ＜δ

     因為 x－t 根本沒有機會小於零呀

     所以你用 0 < x－t ＜δ  做   符合定義  發現它右極限存在

     這時候就保證 0 <│x－t│＜δ 時也符合定義了

     因為此時只要 0 < x－t ＜δ  同時也 0 <│x－t│＜δ

     不然你可以指出不合定義的地方





     大多情況是定義域包含了t的左右

     所以才會把0 <│x－t│＜δ 拆開成   0 < t－x ＜δ 和 0 < x－t ＜δ 分開看

     這時候才會說  lim f 存在  iff   lim f  和 lim f 存在且相等
                   x→t             x→t-     x→t+

     因為這時候只要有一邊的極限值不存在或存在但不相等  馬上就不合極限定義了

     而在此例中  x完全談不上從左邊趨近

     所以 x趨近t  和  x從右邊趨近t  就變成同一回事了

     它只有一個方向可以過去呀



     簡單地來說  就是你把Collorary當成Definition 用得很開心

     卻忘了它的條件  忘了原始定義怎麼講




你將來如果學到高微的話

這其實很基本

就定義來說  x落在 t的 neighborhood 或者說 一個包含t的ball   裡頭時

使得 d(f(x),L)＜ε

但此例t恰好在定義域的boundary上,

所以t的 neighborhood  也就是包含t的 "ball"  是個殘缺不全的ball



甚至你會知道

如果定義域只有一個點

那麼它是連續的

很奇怪吧?  它完全沒有任何方向的極限可言

但它符合ε-δ的定義呀






再給你一個反例

按照你的說法

任何函數f  在區間[a,b]上時

必在端點a,b不連續   所以它只能在開區間(a,b)上連續

因為  在a點"左極限不存在"
                 (這是你的說法...)
      在b點"右極限不存在"
                 (再強調一次,這是你的說法...)


所以f不可能 "在[a,b]上連續"

但這又是均值定理的條件

所以可以推知

在初微中  均值定理無法成立  因為沒辦法合條件



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.49
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.244.49       (02/15 06:31)
→ yhliu:按一般初微教本的定義, 它是 "極限不存在",
→ yhliu:只存在右極限. 但依高微的定義, 它極限存在.
→ yhliu:在初微中, "極限" 指 "雙邊極限", 因此, 欲
→ yhliu:談極限(雙邊極限), 函數在目標點左右都必須
→ yhliu:有定義.
→ yhliu:不過, 或許有些初微教本採高微定義?
→ yhliu:就考試而言,如原題目,若貿然以 "極限不存在"
→ yhliu:為答而被給予0分, 亦只能怪自己未能好好揣摩
→ yhliu:題意...何不指出雙邊極限不存在, 並計算其存
→ yhliu:在之單邊極限?
→ PaulErdos:怎麼可能有初微高微之分 造成一題兩解
→ PaulErdos:況且初微即已介紹εδ語言了
→ PaulErdos:http://tinyurl.com/y8avf4w
→ PaulErdos:算了 我人微言輕 所以還是請它說話吧
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.244.49       (02/15 11:20)
推 ntust661:實數函數的話..這個應該要寫不存在才對吧
推 stillboy:P大的想法很正確
→ PaulErdos:嗯.. 那請問 ntust661  所以你覺得實數
→ PaulErdos:函數的情況沒有均值定理囉 ?
推 henry1114:贊同P大的想法+1
推 ntust661:有壓@@
推 ntust661:噢 PaulErdos 大大，根據您說的這些0.0
→ ntust661:所以您覺得題目需要如何陳述所謂的答案呢
→ ntust661:要說他左極限"不存在"還是"沒有"@@?
→ ntust661:如果今天我忽然講一句 沒有左極限 的話
→ ntust661:聽起來似乎不能馬上分辨您說的那種還事
→ ntust661:逼近沒有值的情況
→ ntust661:我也不是來戰的啦~只是覺得您說的讓我學
→ ntust661:了不少觀念
→ ntust661:現在我的問題是要如何陳述會比較好
→ PaulErdos:別說什麼戰不戰  我只是讓你想反例= =
→ PaulErdos:題目應該不會白目到只問左極限
→ PaulErdos:問極限的話只做右極限然後回答 就可以了
→ PaulErdos:我想應該是連問都不能問  例如根號x
→ PaulErdos:你不能問 lim x-> -1 它根本跑不過去