Re: [積分] 重積分

[r19891011 (弧形)]

※ 引述《BIEGABOY (BIEGABOY)》之銘言：
:       -(r^2)
: ∫∫ e     dA=?，D={0≦x≦1，x≦y≦1}
:    D

用極座標做         2                      2
     π/4 secθ  -r         1 π/4    -secθ
原式=∫  ∫     e   rdrdθ=---∫   1-e      dθ
      0   0                 2  0

                                 2n
如果用泰勒展開再積分的話會遇到sec  θ的積分，我覺得並不好處理XD

                    2  2
                 -(x +y )
我猜原題是問∫∫e        dxdy
             D                            2
                                  1   1 -x    2
根據對稱性(我承認我是用猜的)所求=---(∫e   dx)
                                  2   0
(0,1)
 ___ (1,1)
|  /|     因為對任何在D中的一點(a,b)我們都可以在上三角形(我不是在講矩陣XD)
| / |     區域內我都可以找到(b,a)這點使得
|/__|     這兩點代入被積分的函數都可以得到同樣的值
     (1,0)

簡言之積這兩個區域會得到一樣的積分結果
                       2  2            2
                1 1 -(x +y )       1 -x    2
相加後的積分式=∫∫e        dxdy=(∫e   dx)
                0 0                0

不過有點不幸的是這也不是初等函數可積分，硬用泰勒展開寫的話
     2                                n
 1 -x     1 ∞   1    2 n   ∞    (-1)
∫e   dx=∫ Σ  ---(-x ) dx=Σ  --------
 0        0 n=0  n!         n=0 (2n+1)n!

然後我只能說這個級數顯然收斂而且小於e這樣XD


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◆ From: 59.121.2.223
推 h888512:0≦x≦1，x≦y≦1 應該是pi/4~pi/2 然後
→ h888512:0~csc吧?
→ r19891011:眼殘="= 不過答案還是會一樣的XD
推 BIEGABOY:答案會一樣沒錯，只是極座標稍作改變
→ BIEGABOY:x=rsin ，y=rcos...我也覺得這堤遇到指
→ BIEGABOY:數的三角不好作，所以也有想過你說的對
→ BIEGABOY:稱性，可是答案一樣是不確定.所以想是不
→ BIEGABOY:是題目有錯!!!