※ 引述《ri3567 (阿小)》之銘言：
: 我想請問以下三個 del的公式證明
: 我自己也有想過
: 可是有些地方沒有辦法用嚴格證明的寫出來
: 想請問各位高手
: 以下A.B.F.G.H都是向量 ‧為內積 ×為外積
: ---------------------------------------------------------------------------
: 1. ▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B)
: 2. ▽×(A ×B) = (▽‧B)A－(▽‧A)B＋(B‧▽)A－(A‧▽)B
: 3. ▽(A‧B) = (A‧▽)B ＋ (B‧▽)A ＋ A ×(▽×B) ＋ B ×(▽×A)
: ------------------------------------------------------------------
: 自己的一些想法
: 有些應該有錯 請各位高手指正
: ------------------------------------------------------------------
: 1.
: 主要的問題是 if F‧(G ×H) = H‧(F ×G) = － G‧(F ×H)
: 這些公式都知道
: 那照這樣代的話應該只有第一項兒以
: 不過del是一個偏微的運算子所以會有第二項
: 那該怎麼嚴格寫出來
微分算符要分別對A, B作用，所以當然會有兩項
要導這公式首先先想我們的目的是什麼
我們的目的其實就是把微分算符一次只作用一個向量就好
怎麼作用呢？
|c c c |
| 1 2 3|
首先我們知道C‧(A×B)=|a a a |，由det的性質告訴我們A, B, C三個向量
| 1 2 3| 每兩個交換就變號
|b b b |
| 1 2 3|
把▽當作C的話
什麼叫做「微分算符一次只作用一個向量」？
就是把▽放在A, B的位置做curl
(反正也不能做grad，做div的話就會跟原來的一樣XD)
只是說因為原本的微分算符有要分別對A, B作用
所以也要分別取▽×A和▽×B
再由於上述的det的性質幫助我們知道正負號要怎麼取
所以我們就得到▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B)
: 2.
: 從向量展開公式只會得到前面兩項
: 後面的就真的不知是怎麼來的
既然你已經知道要用這個公式
A×(B×C)=B(A‧C)-C(A‧B)
不過還是要小心微分算符的性質(也就是每個都要被微分到)
仔細觀察前兩項會發現
(▽‧B)A 只有對B微分，如果要對A微分而且又不違背我們的向量公式的話
利用內積交換順序我們得到(B‧▽)A
(你總不能多個curl吧XD)
至於－(▽‧A)B 同理我們還要再補上－(A‧▽)B
: 3.
: 後面兩項展開與兩項前面消掉
: 會剩下 ▽(A‧B)+▽(B‧A) = 2▽(A‧B) 系數怎麼消掉的
從右邊推到左邊或許比較容易
我猜你的展開又少了某些項XD
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