推 midarmyman:thx 114.38.152.102 04/02 10:39
※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 朋友問我一題
: 題目只給這樣
: 已知lim a_n=L
: n→∞
: a_1+.....+a_n
: 證明----------------=L
: n
: 我覺得題目不充分耶 如果是數列 不就發散了?
: 請幫忙看看吧
Given ε＞0 , there exists N ＞ 0 ,
1
such that │a － L│＜ 0 whenever n ＞ N , then
n 1
a ＋ … ＋a (a －L)＋ … ＋(a －L)
1 n 1 n
│────── － L│ ＝ │───────────│
n n
│a － L│＋ … ＋│a － L│ │a － L│＋ … ＋│a － L│
1 N N +1
1 1
≦ ────────────── + ───────────────
n n
│a － L│＋ … ＋│a － L│
1 N n－N
1 1
≦ ────────────── ＋ ─── ε
n n
Denote M ＝ │a － L│＋ … ＋│a － L│
1 N
1
M
and then choose N , such that ─ ＜ ε whenever n ＞ N .
2 n 2
Let N ＝ max{ N , N } , we have
1 2
a ＋ … ＋a n － N
1 n 1
│────── － L│ ＜ ε ＋ ──── ε ＜ 2ε whenever n ＞ N
n n
Q.E.D.
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