Re: [張爸] 級數求斂散性

[keith291 (keith)]

※ 引述《legstrong (一路順風)》之銘言：
:  oo
: sigma [(n^1/n)-1]
:  n=1
: 答案是發散
: 前面那個n的1/n次方可以泰勒展開嘛？？



因 n - 1 = (n^(1/n) - 1)(n^((n-1)/n) + n^((n-2)/n) + .... + n^(1/n) + 1)


故 n^(1/n) - 1 = (n - 1)/(n^((n-1)/n) + n^((n-2)/n) + .... + n^(1/n) + 1)


∞               ∞                        n - 1
Σ (n^(1/n) - 1)=Σ -------------------------------------------------
n=1              n=1 (n^((n-1)/n) + n^((n-2)/n) + .... + n^(1/n) + 1)

                 ∞               n - 1
                >Σ --------------------------------------   (if a ≧ 1 ≧ b,
                 n=1  n + n + .................+ n  (n個n)
                                                              then a^b < a)
                 ∞   n - 1
                =Σ  ------  發散
                 n=1   n^2

得原級數發散 by  基本比較審歛

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◆ From: 218.166.114.80
推 math1209:跟 1/n 比看看...
推 midarmyman:把n^(1/n)改成e^(lnn/n) 再比也不錯
→ midarmyman:第一行怎麼想到的阿 好神
→ midarmyman:怎麼分解成那樣的 可以說明一下嗎 謝了
→ keith291:依據對所學乘法公式的靈機一動
→ midarmyman:怎麼分?
→ midarmyman:第一行那邊
→ keith291:a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+....)
推 midarmyman:多謝