Re: [積分] 定積分2

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《henry9621205 (清心小子)》之銘言：
:   π   (sin9x)^2
: ∫   ------------ dx
:   0     (sinx)^2
: 謝謝!!

---


    π  {sin[(2n+1)x]}^2
   ∫   ──────── dx     ,  n屬於N
    0      [sin(x)]^2

    π          n           2
 = ∫  [ 1 + 2 Σ cos(2kx) ]   dx
    0          k=1

    π         n                 n             n
 = ∫   1 + 4 Σ cos(2kx)  + 4[ Σ cos(2kx)][ Σ cos(2kx) ]   dx
    0         k=1               k=1           k=1

               nπ
 = π + 0 + 4*──
               2

 = (2n+1)π



  ps:
       π
      ∫   cos(2mx)*cos(2nx) dx  =  ┌  π/2    if  m=n      ,  m、n 屬於N
       0                            └   0      if  m≠n

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.141.151
推 math1209:好...
推 AVcorey:是不是太酷了點
推 legstrong:好神
→ midarmyman:第一個等號後面那些怎麼變來的QQ
→ midarmyman:還有第二個等號兩級數相成的積分
→ midarmyman:也麻煩說明一下吧
→ musicbox810:第一個等號是高中積化和差的題目 複利
→ musicbox810:葉書籍幾乎會提到的三角恆等式
→ musicbox810:第二個等號兩級數相乘是利用三角函數
→ musicbox810:正交的性質 也是富麗葉會教的
→ musicbox810:sinx *(1 + 2Σcos(2kx))=sin(2n+1)x
→ midarmyman:..就覺得有點像傅立葉 還沒學QQ
→ doom8199:#1Ax7krft (Math) , 這是第一個式子證明
→ doom8199:後面的積分也是利用和差化積就能處理
→ doom8199:                  積化和差
→ doom8199:沒學過 傅立葉 基本上沒差XD
→ midarmyman:恩 #1Ax7krft這是啥意思?
→ doom8199:因為 Fourier series 的內積定義,恰好是
→ doom8199:用積分式去定義。其結果也是要由一些
→ doom8199:積分技巧去證明
→ doom8199:#1Ax7krft 是文章代碼 , 按 shift + Q
→ midarmyman:恩 我看看
→ doom8199:可以看文章的位址在哪。
→ doom8199:shift + # 可以直接搜尋該篇文章
推 math1209:文章代碼(AID): #19IQ4bAN (Math) 也行XD
推 midarmyman:兩位應該不只證明 而且也把他背起來了?
→ midarmyman:請math大教我速記法吧XD
→ doom8199:那個式子我沒有在記,因為我也很少用到 XD
→ doom8199:但若要真的去背它的話 , 可以嘗試把
→ doom8199:1 + 2Σcos(2kx)  寫成 Σe^(i2kx)
→ doom8199:這也是我為何會喜歡寫成 1 + 2Σcos 原因
→ henry9621205:謝謝解答