Re: [微積] 一題定積分

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《aj0938 (Daniel)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: aj0938 (Daniel) 看板: Math
: 標題: [微積] 一題定積分
: 時間: Fri May 21 17:13:29 2010
:         2
: 求證當 a  ≦ 1 時
:  π/2         2     2
: ∫    ㏑ ︳sin x - a  ︳dx = -π㏑2
:   0
: 先感謝幫忙解答的人。

由 a^2  ≦ 1

可知a^2 = (sink)^2  取k介於0~π/2

(sinx)^2 - a^2

  = (sinx)^2 - (sink)^2

  = sin(x+k)sin(x-k)


∫ln｜(sinx)^2 - a^2｜dx

     π/2              π/2
  = ∫lnsin(x+k) dx + ∫ln｜sin(x-k)｜dx
     0                 0
      π/2         π/2                     k     π/2-k
  = [∫     +     ∫      ](lnsinx dx) + [ ∫  +   ∫   ](lnsinx dx)
      k            π/2-k                   0       0

     π/2
  = 2∫  ln sinx dx
      0

     π
  = ∫ ln sinx dx
     0

      π/2           π/2
  = [ ∫ln(sinx)dx + ∫lncosx dx ]
       0              0

     π/2            π/2
  = [∫lnsin(2x)dx - ∫ln2 dx]
      0               0

                        π
  = -(π/2)ln2 + (1/2) ∫lnsin(u)du
                        0

  = -πln2

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◆ From: 122.124.105.96
推 r19891011:蠻乾淨的(不像我超虎爛的XD)
推 aj0938:了解了，感謝^^
推 midarmyman:經典題 考不少東西
→ midarmyman:honor我看懂了= = 不用回了
推 SUPERERIC:請問第七行第一個積分式ln後面有絕對值?
推 jack7775kimo:回樓上 因為log裡面要確保是正的
推 SUPERERIC:所以這裡不加也可囉 因為假設log裡面為
→ SUPERERIC:正,再問一下 若碰到log裡不為正 裡面又
→ SUPERERIC:能對消得到正的 該怎麼辦?
→ SUPERERIC:^不
推 SUPERERIC:抱歉!再問 第八行的寫法是正式寫法嗎?
→ SUPERERIC:沒看這種寫法 意思兩個不同上下限,但積
→ SUPERERIC:分變數相同的意思嗎? 先謝謝囉~~
→ Honor1984:第七行不用加絕對值是因為在那個區間內
→ Honor1984:sin是正的 但是第二個積分區域內sin有負
→ Honor1984:第八行  你看得懂意思就好 考試時老實寫