→ dantien:第二解好精闢! 218.166.181.11 06/30 23:03
※ 引述《iloveddl (~momo~)》之銘言：
: b
: Find the values a < b such that ∫ 1-e^(1-x^2) dx has minimaal value.
: ═ a
: 第二題感覺最小值是當a=b時積分式為0只是不知道怎麼證明
因 1-e^{1-x^2} 可能為負, 因此 a=b 不一定是最小.
先固定 a, 考慮 b≧a 時的最小值:
b
Let g(b;a) = ∫ (1-e^{1-x^2}) dx
a
則
g'(b;a) = 1-e^{1-b^2}
若 a<-1, 則 b=±1 是臨界點, 且 g'(b;a)>0 when b>1.
得可能之最小值 g(a;a)=0 或
1
g(1;a) = ∫ (1-e^{1-x^2}) dx
a
若 -1≦a<1, 則 g(b;a) 有唯一臨界點 b=1, 也是 g(b;a)
最小值所在.
若 a≧1, 則 g'(b;a)>0 for all b>a, 故最小值是 g(a;a),
即 0.
變動 a, 以取得 h(a,b)=g(b;a) 之絕對最小值.
顯然只有 g(1;a)<g(a;a)=0 才可能得到真正的最小值.
令 ψ(a) = g(1;a), 則
ψ'(a) = -(1-e^{1-a^2})
臨界點 a=±1, ψ' 正負: - + -.
不過, a≧1 時 g(b;a) 最小值是 g(a;a)=0 而非 g(1;a),
因此 a=-1 得 ψ(a) 最小值.
故原積分之最小值是在 [-1,1] 之積分.
以上是笨蛋 yhliu 解法.
聰明者說:
1-e^{1-x^2} 在 x in (-1,1) 為負, 在 [-1,1] 之外為正.
所以, 答案當然是: a=-1, b=1.
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