Re: [張爸] 兩題級數

[math1209 (人到無求品自高)]

※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: 我自回吧 不過還是多謝L大
: ∞    1                1             1             1
: Σ-------------->Σ-----------=Σ----------- >Σ--------(exist x s.t. lnx>ln2)
: n=1  ln(n^4+1)      ln(2n^4)      ln2+4lnx        5lnx
: so the series is divergent
: ∞    n+1
: Σ--------------
: n=2  (nlnn)^2
: 第一個發第二個收
: 一時想不出來 幫幫忙吧 XD

(1) 分母部分那個 1 不重要，因此只需要考慮分母為 4(ln n).

    這顯而易見知道 Σ 1/{4(ln n)} 不收斂。

    (由 a.積分分測試法或 b.科西壓縮定理或 c.比較審斂法與 1/n 比)

    故原級數不收斂。

(2) 分子的 1 不重要，因此只需要考慮分母為 n (ln n)^2.

    這顯而易見知道 Σ 1/{n (ln n)^2} 收斂。

    (由 a.積分分測試法或 b.科西壓縮定理)

    故原級數收斂。

NOTE. (1) 你最好不要在級數裡面寫 "x" 這個符號，這是一種習慣。
      (2) 科西壓縮定理是指:

      命 a_n 為單調遞減至 0 數列，則

                Σ a_n 收斂等價於 Σ {2^k}{a_(2^k)} 收斂。

      例：Σ 1/n 不收斂，因為Σ {2^k}{a_(2^k)} ＝ Σ {2^k}/{2^k} ＝ Σ 1.

      (3) 你擔心積分測試法裡，1 為瑕點的問題: 你大可使 n 由 2 開始…

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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.32.219.116
推 legstrong:感謝大大講解～
推 midarmyman:推! 神手
→ midarmyman:請問柯西壓縮是哪個部份的內容?
→ midarmyman:感覺好像不錯 有興趣想知道更多 麻煩了
→ math1209:這沒什麼阿 你就自己證明可以了..
→ math1209:想不出來就想想你怎麼證明 Σ 1/n 不收斂
→ midarmyman:好 我會試試 另外想問這方法對哪種型式
→ midarmyman:比較有效
→ midarmyman:證明 用積分?
→ math1209:這很難說...對哪種形式...
→ math1209:不過可以講的是 積分測試法可以弄得...
推 legstrong:1/1 1/2 (1/3+1/4) (1/5~1/8) 都>1/2
→ math1209:往往科西壓縮定理也可以...
推 legstrong:柯西壓縮也是級數打散分配這樣嘛？？
→ math1209:Cauchy_condensation_test
→ math1209:上 WIKI 查.
推 midarmyman:math謝了