Re: [積分] 一些積分和flux

[r19891011 (弧形)]

※ 引述《rygb (疾風影)》之銘言：
: ※ 引述《berry17523 (straw)》之銘言：
: :     1 2
: : 1. ∫∫ y(4x^2+4y^2+1) dxdy
: :     0 0
: : 這題我用想說極座標做 但是整個過程變很醜
: : 請問我方法是對的嗎 還是有其他比較好的方法?
: 並不是每次看到 平方項 就要轉極座標
: 像這題 底面區域是長方形 (都是常數）
: 所以　直接積分　會比你換成極座標來的快　
: （因為長方形在極座標下難以積分　要考慮很多函數的邊界狀況）
: :     4
: : 2. ∫ sinπ(x)^1/2 dx
: :     0
: 第二題不太明白你說的是．．？　次方式在外面　還是在裡面
             4               2
我猜你說的是∫sin(π√x)dx=2∫t*sin(πt)dt
             0               0
接下來我相信你一定會做XD
(我剛剛算的結果-+是零)
: : 3.  ∫∫e^(x+y) dydx
: :   x^2+y^2≦1
: 不太確定　用極座標轉換下　和直接重積分　會發現卡住．．．
: 比較可能的是　用ＧＲＥＥＮ　定理　轉回線積分　
: 可能還請別的大大幫忙解了
令x+y=u，x-y=v

      1      u            2  2
原式=---∫∫e  dudv=I，在u +v =2的區間
      2

 2  1      (x+y)√2      1      u√2       2  2     2  2
I =---∫∫e        dxdy=---∫∫e    dudv；x +y =1，u +v =1
    2                    4
好像還是湊不出來(我昨天想錯了，抱歉！)

用極座標表示I的話
   1  2π cosθ                            2
I=---∫  e    secθ(1-secθ)dθ，(有一項sec θ的積分等於零)
   2  0
                           2
   1  2π cosθ       1-cos θ         2π cosθ
 =---∫  e    (secθ- -------)dθ，(把∫  e     dtanθ做分部積分)
   2  0               cosθ            0

   1  2π      cosθ
 =---∫ cosθ e    dθ
   2  0
然後很不幸的這個積分Mathematica也積不出來XD
              1-t^2
我試過令cosθ=-----的代換，換出來的結果也是Mathematica也不會積XD
              1+t^2
老實講我也懶得用複變做

我用Green Thm亂猜的話也會得到和上面差不多的式子  囧
所以我建議剩沒幾天考試，還是放棄這題好了XD

: : 4. S be the plane z=3x+2 lies within the cylinder x^2+y^2=1 ,
: :    find the flux of the vector F= 2yi+3zk out of S
: : 麻煩幫我解答 大感激
: Flux = ∫∫F‧n dS = ∫∫(9x+6-6y)dA ( 圓心為原點的圓 半徑一)
: F = (2y , 0 , 3z)  ▽S = ( 3 , 0 , -1)
: dS cos(Θ)  = dA ( S 的投影面)
:             (3,0,-1)(0,0,k)
: cos (Θ) = -----------------
:               √(10)
: 就差不多出來了

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◆ From: 59.121.9.138
推 rygb:..第三題真強 不過 後面不知道怎麼得到I^2
推 rygb: 恩 第二題大上是懂了 不過大大也算"0"?
※ 編輯: r19891011       來自: 59.121.2.233         (06/30 13:56)
→ r19891011:很抱歉其實我昨天算錯了
推 rygb:恩 看來只能等之後再學其他工具解決了 :)
推 berry17523:恩恩~沒關西 已經很強了XD 謝謝!我懂了
→ r19891011:其他工具？
→ r19891011:其實我覺得用複變也做不太出來XD
→ rygb:會不會是只有數值解呢 XD