※ 引述《k2111521 (漂泊不定的風)》之銘言：
: ※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: : ln2 g(x)*e^(g(x))
: : ∫ -------------- dg(x)
: : 0 (2+e^(g(x)))^2
: : @@ 再來就IBP 很快就出來了@@
: 台大97年的微b 第四題 看了版友的解釋還是不太明白，不知道有沒有人可以再幫忙
: 解釋的清楚一點
: 原題目是
: f(x)=1/(2+e^x)為一遞減函數。令g(x)為f(x)之反函數，則
: 1/3
: ∫ g(x)dx =？
: 1/4
現在來回答你兩個問題
: 法一 (把GLP版友的解法 g(x)用u代替)
: u
: ln2 u*e
: ∫ -------------- du
: 0 (2+e^u)^2
: 這個看起來相當精簡的式子是怎麼出來的呢？
沒有講出任何過程就丟出這個積分式
看得實在很痛苦
x = 1/(1+exp(y))
dx = -exp(y)/(1+exp(y))^2
∫g(x)dx
= ∫-xexp(x)dx/(1+exp(x))^2
搞到最後
其實就只是代換而已
但是我覺得使用g(x)這個記號是很容易混淆的
: 法二
: -1
: 令y=g(x)= f (x) => f(y) = x
: |1/3 1/3
: O.E. = xg(x)| - ∫ xd[g(x)]
: |1/4 1/4
: ^^^^^^^^^^^^^
: 0 0 dy
: 利用I.B.P 黃色的部份代換為f(y)變成 ∫ f(y)dy = ∫ --------
: ln2 ln2 2+e^y
d(2+exp(y))
∫ ------------------------
(2+exp(y)-2)(2+exp(y))
剩下就是簡單積分了
: 但想不出後面那個要怎麼把值積出來..
: （而且反函數的變換感覺有些複雜，搞不太清楚 上下界怎麼變成ln2到0的）
: 希望版友們能幫忙一下囉 感謝
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