Re: [積分] 政大考古題 一題積分

[CDnow (冷凍中)]

原題：∫√(xsinx)dx  下限0 上限pi/2



利用積分均值定理：
           b
          ∫ f(x)dx = f(c)(b-a)
           a

           b                  b
       → ∫  f(x)g(x) = f(c)∫ g(x)dx
           a                  a


利用Beta積分格式：
           1
          ∫x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx = B(p,q)
           0

     令 x = sin^2 θ, dx = 2sinθcosθdθ

                 2pi
    則 B(p,q)= 2∫  (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ
                 0

     2pi                                    1 Γ(p)Γ(q)
得  ∫  (sinθ)^(2p-1) (cosθ)^(2q-1)dθ = ───────
     0                                      2  Γ(p+q)

然後取 f(x) = √x

            pi/2                              │pi/2
√c = 2/pi ∫   √x dx = 2/pi * 2/3 * x^(3/2) │
            0                                 │0

= 2/pi *(pi/2)^(1/2)

      pi/2
再看 ∫   √(sinx)dx =  依照上述是為 p=3/4，q=1/2
      0

            pi/2
最後得原題 ∫   √(x*sinx)dx
            0

                  pi/2
            = √c∫   √(sinx)dx  結合上述
                  0
                                          Γ(3/4)Γ(1/2)
            = 2/3 * (pi/2)^(1/2) * 1/2 * ────────
                                             Γ(5/4)
             　　　　　　　
大概就是這樣吧，不知道有沒有打錯的地方，

我不太清楚這種是叫數值解還解析解XDD

解答來源相信應該不少人知道＝ˇ＝

這種題目當場做應該沒有幾個人做得出來吧？（好啦我承認我想不到..）

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.0.199
※ 編輯: CDnow           來自: 114.25.0.199         (07/04 01:09)
→ yyc2008:解答來源是哪裡?
→ yyc2008:文中利用積分均質定理 →上一段的c確定和
→ yyc2008:→那一段的c是相同的嗎? 這個令人懷疑
→ CDnow:來源就是..王博老師的頭腦@@"
→ CDnow:積分均值那個是代表類推 不是代表相同