Re: [張爸] 級數斂散性

[keith291 (keith)]

※ 引述《debdeb ()》之銘言：
:        ∞
:        Σ   √(1-cos(1/n))
:        n=1
:   解答為發散
: 　不過我不知道要用哪個test才做得出來
:   麻煩指點一下，謝謝！

觀察其泰勒展開式以搜尋靈感:

√(1-cos(1/n)) = √(1-( 1 - (1/n)^2/2! + (1/n)^4/4!-.....))

               = √((1/n)^2/2! - (1/n)^4/4! .....)

               ≒ C/n  as n 足夠大  ,C is a constant


故用極限比較檢驗與1/n比:

      √(1-cos(1/n))                1-cos(1/n)
 lim  --------------- = √(  lim  --------------)
n →∞      1/n            n →∞     1/n^2

                                 -(1/n^2)sin(1/n)
                      = √( lim  ----------------)
                           n →∞     -2/n^3

                                     sin(1/n)
                      = √( lim  ----------------)
                           n →∞     2(1/n)

let t = 1/n
                                  sin t
                      = √( lim  --------) = 1/√2
                           t →0+   2t

故原級數和Σ1/n同歛散,得原級數發散

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◆ From: 61.231.97.62
→ ntust661:很棒^^
推 debdeb:謝謝，現在才看到XD