→ Eliphalet:例子是不是搞錯了? exp(-1/x^2) ?122.127.115.161 03/11 07:58
→ PaulErdos:對 我打錯了XD 219.71.38.45 03/11 21:48
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 幂級數(Power series)：
: 如果有一串級數形如 a0+a1x^1+a2x^2+....+anx^n+....
: 就稱為密級數
: 單變數泰勒展開式(Taylor expansion series)：
: f is C^oo function
: if
: f(x)= sigma f^n(a)
: n=0 to inf ────(x-a)^n (亦即這個級數要收斂)
: n!
: 則稱這一串冪集數是f在a點的泰勒展開式
: 而在0這點的泰勒展開式又叫作f的馬克勞林級數
不必無窮可微, 只要f在a點可以n次微分,就可以在a點做n階展開
寫出來的泰勒級數, 可能只在某個區間收斂到f
譬如說在 [a,b)
那麼我們只能選擇在 [a,b)裡面的某個c
(k)
n f (c) k
做形如 Σ ─── (x-c) 的展開, 而x也只能在收斂區間[a,b)之內
k=0 k!
如果f無窮可微, 那麼恭喜你, 泰勒展開可以寫無限多項出來
但是寫無限多項出來以後, 它甚至可能只在一個點是收斂的
2
-x
譬如說 f(x)＝ e x≠0
0 x＝0
那麼f無窮可微
而在0的地方 任意階微分都是0
但在0以外 任意階微分都不是0
所以你寫出 f 在 0 的泰勒展開以後 (就是 0 + 0 + ...)
發現它只在0收斂到f
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