Re: [考古] 一致連續的問題

[Eliphalet (真係廢到冇朋友)]

※ 引述《s920911 (旋轉布丁)》之銘言：
: f(x)=1+x+x^2+x^3+... 下列區間和者不為一致連續?
: (A) 0≦x≦0.5
: (B) -0.9999<x<0.9999
: (C) 0<x<0.9999
: (D) 0<x<0.5
: (E) 0<x<1
: 答案 是E
: 我想問問 B的答案不行嗎?

推 znmkhxrw:B你取 [-0.99999,0.99999]這個closed
→ znmkhxrw:interval 蓋住B選項  因為f在這個cl.int.
→ znmkhxrw:連續且收斂 所以uni. cont. 在此cl.int.
→ yhliu:在各範圍, f(x) 的值都是 1/(1-x). 此函數在
→ yhliu:[-1+e,1-e], e>0, 均勻連續, 但在靠近 -1 or
→ yhliu:+1 不是均勻連續.
→ yhliu:我錯了...只是 x 靠近 1 時才不是均勻連續.
→ s920911:一致連續所取的x2-x1很接近→f(x2)-f(x1)
→ s920911:也應要很接近對嗎? 一致連續的定義不是
→ s920911:很清楚...
 這裡的一致連續指的應該是 uniformly continuous

 與一般的連續差別在於 δ 的選取只跟 ε 有關而跟點的選取無關

 f(x) 只定義在 (-1,1) 且

               1
   f(x) =  --------- .
             1 - x


     可以考慮以下這種點 x_n := 1-1/n , y_n := 1-1/(2n)

                                  1
  | f(x_n) - f(y_n) | =  ------------------ |x_n-y_n|
                          |(1-x_n)(1-y_n)|


                      =  n  -> ∞ as n -> ∞

      因此 f 不可能為 uniformly continuous


      事實上 f 在每一個不包含 1 的 閉區間 都是一致連續的

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◆ From: 122.127.117.147
※ 編輯: Eliphalet       來自: 122.127.117.147      (03/20 09:30)
→ yhliu:雖然 1/(1-x) 在不包含 1 的區間是一致連續
→ yhliu:但 f(x) 只在 (-1,1) 有定義...因為 f(x) 是
→ yhliu:以冪級數定義, 只在 (-1,1) 等於 1/(1-x).
→ Eliphalet:對 那個是 typo 已經修改了
→ Eliphalet:靠近 -1 也可以 應該是只要右端點 < 1
→ Eliphalet:右邊是閉的區間都行
推 s920911:ㄜ，以大大們降說好像每個答案都符合一致
→ s920911:連續
→ Eliphalet:沒啊  最後一個不行啊
→ s920911:ㄜ，那大大上面說的只是右端點<1 不是這
→ s920911:個意思嗎?
→ Eliphalet:要右邊是閉的
→ yhliu:"右端點 < 1" 不是 "右端 < 1", 這差很多!
→ yhliu:(-1, 0.99999], (-1,0.99999) 都是右端點<1;
→ yhliu:而 (0,1) 的右端 "<1", 但右端點是 1.
→ yhliu:在本例, f(x)在(-1, 0.99999],(-1,0.99999)
→ yhliu:都是一致連續; 但在 (0,1) 則非一致連續.
→ yhliu:又, 發現1F一個筆誤: "1/(1-x) 在不包含 1
→ yhliu:的區間是一致連續" 是錯的, 是如 Eliphalet
→ yhliu:說的: "在右端點小於1的區間一致連續" 才對.