Re: [積分] 一題不定積分 一題級數歛散

[TsungMingC (TMC)]

※ 引述《kkgfdsaa (Jared)》之銘言：
: 1.∫(e^x)/x dx = ?

    1           2       3
∫ --- ( 1+ x+ x /2! + x /3! + ... )dx
    x

       1                2
= ∫ [--- + 1 + x/2! + x /3! + ... )dx
       x

                2          3
= ln|x| + x +  x /2*2! +  x /3*3! + ...


           ∞   n
= ln|x| +  Σ  x / n*n!
           n=1

:    ∞
: 2. Σ [n^(1/n)-1] is converges or diverges ?
:    n=1



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◆ From: 163.22.18.57
推 kkgfdsaa:感謝 請問第二題呢?
推 znmkhxrw:我忘了n^(1/n) 遞減到 1 怎麼證了= =
→ znmkhxrw:(只有前幾項會跳動 之後就一路遞減)
→ znmkhxrw:如果有這個當前提的話 n^(1/n)-1 就↓0
→ znmkhxrw:Consider An=n^(1/n)-1 ,n>=N0(確保遞減)
→ znmkhxrw:An+1-An=(n+1)^(1/n+1) - n^(1/n) < 0
→ znmkhxrw:注意到An>0  for all n , 除An 不變號
→ znmkhxrw:又因為An+1 An都>0 所以可直接掛絕對值
→ znmkhxrw:符合Ratio test的需求  收斂
→ znmkhxrw:我用Wolfram跑 收斂值是10^8左右XD
推 steve1012:應該可以不用Ratio test 反正monotonic
→ steve1012:又bounded
推 steve1012:應該可以直接取極限 發現他收斂到1
→ steve1012:在利用Z大說的遞減
推 math1209:a_n = n^(1/n) -1. b_n = (ln n)/n
→ math1209:n^1/n=t => a_n/b_n = (t-1)/lnt
→ math1209:-> 1. So, Σ a_n diverges by limit
→ math1209:comparison test with Σ b_n diverges.
→ math1209:By the way, we can choose b_n = 1/n.
→ math1209:But it needs some more computations.
推 math1209:For n^1/n ↓ by observing (1+1/n)^n
→ math1209:<= 3 <= n. ( (n+1)^n <= n^(n+1) )
→ math1209:But I dont know how to use Ratio test.
推 kkgfdsaa:回math大，(t-1)/lnt，應該不會收到1
→ kkgfdsaa:所以comparison test 好像沒法說明是收斂
→ kkgfdsaa:感謝z大，但ratio test 我還是test不出來
→ kkgfdsaa:我知道n^(1/n)用自然對數形式就可知道是1
→ kkgfdsaa:用nth test 知道是發散
→ kkgfdsaa:之後用direct comparison 還是無法證出
→ kkgfdsaa:所以還請各位高手幫忙一下
推 math1209:(t-1)/lnt -> 1 (這是對的)
推 alasa15:yeah, as t→1
→ kkgfdsaa:感謝各位