[積分]兩題重積分

[alasa15 (alasa)]

    a   a
1. ∫  ∫  [x^2+y^2+h^2]^(-1) dxdy, h is a constant
   -a  -a

    a   a
2. ∫  ∫  [x^2+y^2+h^2]^(-3/2) dxdy, h is a constant
   -a  -a



有一題是吳銘士400題裡面求電場的積分 (213)
因為積分區域不是圓形所以換成極座標很不好算
這樣的題目要怎麼解??

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.249.0.47
推 steve1012:把y^2+h^2先等於L^2 這很容易
→ steve1012:要積分y的時候在換出來
→ alasa15:用得出來嗎? http://ppt.cc/wfv~
推 steve1012:裡面可以化成 2 arctan(   )
→ steve1012:在令 根號項為u則可以帶換
→ steve1012:可能還會在用到分布積分
→ yhliu:第1題內層積分做出來後, (1/L)arctan(a/L)
→ yhliu:的積分可能只能就定積分的特殊解法去考慮.
→ yhliu:但第2題內層積分用同樣代換做出來後, 外層積
→ yhliu:分應該可以順利做出來.
→ yhliu:雖然形式上都是 (x^2+y^2+h^2) 的乘冪, 但
→ yhliu:形式結果可能大不同. 第1題做不出來的方法,
→ yhliu:不一定在第2題也無效.
→ yhliu:又: 由於對 x 對 y 而言都是偶函數, 可以把
→ yhliu:下限都換成 0, 結果再乘以 4 即是.
→ yhliu:形似, 結果可能大不同.
→ yhliu:再仔細算一次, 發現第2題也有困難,
→ yhliu:最後變成 1/√[(y^2+A^2)(y^2+B^2)] 形式的
→ yhliu:積分, 仍然找不到反導數的 closed form.
→ yhliu:切割成8等分, 考慮在 0≦y≦x≦a 的積分,
→ yhliu:用極座標變換, ∫∫f(x^2+y^2+h^2)dxdy
→ yhliu:變成 ∫∫f(r^2+h^2)rdrdθ,
→ yhliu:內層 r 範圍 [0, a*sec(θ)], 外層[0,π/4]
→ yhliu:f 可找到反導數 F, 則變成
→ yhliu:∫_[0,π/4] (1/2)F(a^2 sec^2(θ)+h^2) dθ
→ yhliu:這個是否積得出來我不知道...但這方法再不行
→ yhliu:我已黔驢技窮了.
→ alasa15:THANKS A LOT!