Re: [微分] 幾題微分的應用

[rygb (疾風影)]

※ 引述《mic790909 (阿翰)》之銘言：
: ※ 引述《iamOsaka (歐沙卡)》之銘言：
: : 以下幾題小弟怎麼算都錯，請版上高手解惑，感激不盡！ <(_ _)>
: : 1.      半徑為R cm的球形碗，以每秒a cm^3的速率注入水，
: :         求在水深高度為y=R/2時，水面上升的速率？ 解：4a/3π(R^2)(cm/sec)
: : 2.      某球體內充滿氣體，今氣體以2 ft^2/min的速率溢出，
: :         求當球體半徑為12ft時，球表面積減少之速率？　解：-1/3 (ft^2/min)
: : 3.      某等腰三角形兩邊之長均10公分，而其夾角為θ，以知θ每分鐘增加2°，
: :         試求夾角為30°時，該三角型面積的變率？ 解：5(3)^(1/2) π/18
: 我也跟原PO一樣 第一題怎麼算都錯
: 根據王X微積分內的解法 當水深y時體積為V(y)=π(Ry^2-(1/3)y^3)
: 所以當y=R/2時 體積應為(5/24)πR^3
: 此時dv/dt=a=(dR/dt)(5/8)πR^2  ， dR/dt=8a/5πR^2
: 所以題求水面上升速率應該是dy/dt=(1/2)dR/dt=4a/5πR^2
: 但與答案不同，想請問一下板上高手
: 我這樣的解法錯在哪裡?是哪邊的觀念有問題呢?
: 謝謝~!


剛看了一下題目 拿起筆算了一下

發現你的V(y)有問題

如果你是直接套用書上的公式 可能是打錯字


恩 V(y) 應該改為 π[R*R*y - (1/3)* (y^3)]

然後應該就可以得到答案了


下面提供我的作法:

在紙上畫一個上半圓 原點定為 上半圓的最左側

利用旋轉體可得 V(h)=∫(y*y*π)dx   (from 0~h , y = (R^2-x^2)^1/2 )

       dV             dh  |
已知  ---- = a ; 求  ---- |     R  = ?
       dt             dt  |h = ---
                                2
 dV
---- = (R^2-h^2)*π (微積分基本定理，注意符號!)
 dh

 dh     dh   dV          1
---- = ---- ---- = ------------ * a
 dt     dV   dt    (R^2-h^2)*π

put h = R/2 , we get

 dh  |             aπ     4
---- |         =  ----- * ---
 dt　|h = R/2      R^2     3


恩 ，大概是如上 如果有更好的方法或錯誤 請其他大大分享指教囉











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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.122.244
推 mic790909:感謝這位大大，但是V(y)應該沒有錯
→ mic790909:而之前有一篇解答用不同方法算過 答案
→ mic790909:也是4a/3piR^2
→ mic790909:阿 似乎只有最後步驟計算錯誤 拍謝
推 mic790909:算了多次v沒錯 能請r大列一下你算的過程
→ mic790909:嗎? 或許我連算體積都有問題@@ 麻煩了!
→ rygb:你的V(y) 是怎麼得到的?
→ rygb:因為你說根據別人的做法 所以我不太知道
推 mic790909:我是算一個平面半徑為R^2-(R-y)^2開根號
→ mic790909:平面面積為pi*R^2-(R-y)^2 再對Y軸積分
→ mic790909:積分範圍從0~y所以得到V(y)的式子這樣@@
→ rygb:然後從你所說的 對Y軸積分 出來好像不是你
→ rygb:打得式子喔
推 mic790909:平面面積是pi*(R^2-(R-y)^2)才對 沒打清
→ mic790909:楚抱歉 而5/24(piR^3)是代y=R/2的結果
有辦法"詳細"說明一下 你的V(y)的得出方法嗎?

1. 你的平面長甚麼樣子

2. 你對y軸積分的式子

因為可能我們所說的有點落差 為了盡快找到你的問題

很明顯地你唯一的問題就是v(y)的式子
※ 編輯: rygb            來自: 114.34.122.244       (05/17 21:40)
推 mic790909:好的 謝謝r大那麼有耐心@@ 我是用補習班
→ mic790909:所教的圓盤法 將球切為許多片圓形 而因
→ mic790909:為半徑為R 當假設水深為y時 所切的小片
→ mic790909:圓形半徑就為R^2-(R-y)^2   再開根號
→ mic790909:所以小片圓形面積就為半徑平方再*pi
→ mic790909:半徑平方就等於上述式子不開根號
→ mic790909:故所得小片圓形面積為pi*(2Ry-y^3) 再
→ mic790909:對y做積分 则當假設水深為y時得到V(y)
→ mic790909:而pi*(2Ry-y^3)對y積分為Ry^2-(1/3)y^3
→ mic790909:再乘以pi 就是我寫的V(y)了
→ mic790909:以上就是我對V的求法 麻煩r大指教@@
看來詳細說明後 是小的不才= =

原本以為是你積分過程的問題  其實你的V(y)也是對的

而且.. 我用你的V(y) 也得到 書上的答案

回頭檢視
   dr
那---- 是?
   dt
※ 編輯: rygb            來自: 114.34.122.244       (05/17 22:00)
推 mic790909:嗯@@ 那就是我求面積沒錯 但這題過程做
→ mic790909:錯了 我的dr/dt 是由v對t微分後 得到
→ mic790909:(5/8)piR^2(dR/dt) 是由y代R/2所得
→ rygb:V=? v=?
→ mic790909:而dv/dt=a=(5/8)piR^3(dR/dt) 所以得
→ mic790909:V是我一開始寫的那式子V(y)
→ rygb:所以小v是流速?
→ mic790909:dR/dt=(8a)/5piR^2 而當y=R/2時 dy/dt=
→ mic790909:沒有小v@@ 我的V都是V(y)
→ mic790909:dy/dt=(1/2)dR/dt=(1/2)*[(8a)/5piR^2]
※ 編輯: rygb            來自: 114.34.122.244       (05/17 22:13)
→ mic790909:呃 不太懂 V是體積 dV/dt是每秒注入a
→ mic790909:所以我怎麼求答案都應該是(4a)/5piR^2
→ mic790909:才對@@
→ rygb:晚上腦子有點亂= = 原諒我
→ mic790909:不會 我比較不好意思
→ rygb:問題在.. 變數和常數
→ rygb:因為你先把y值帶進去了
→ rygb:除此之外 R 一直是半徑 你裝水時 R=CONST.
→ rygb:dR/dt = 0 .. f'(y) 和 f'(y=0) 有很大的不同
推 mic790909:阿 所以我算體積時y應該代R/4? 我算一下
→ rygb:不是= = 是說你應先求dv/dy 再帶入該點y值
→ mic790909:好像不是 我再想一下 不好意思@@
→ rygb:不能先帶入y值 在求其微分值
→ rygb:因為先帶入在微分 相當於 你微分常數
推 mic790909:阿阿阿 我懂了!! 耶! 謝謝r大 麻煩你那
→ mic790909:麼久 不好意思 感恩!!~
→ rygb:不會 ， 我誤解你意思 耽誤時間 :P