Re: 數列收斂三個問題

[keith291 (keith)]

※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
:            3     2
: 2. a > 0, a   + a   + a   = a    求 a  (n->∞)
:     1      n+1   n+1   n+1   n       n
: 我知道在n->∞時 可以用a_n = a_(n+1) = 固定值α 解出未知數，
: 但最後解出α=0或-1時，如何得知-1不合?



(a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1) = (a_(n+1))( (a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1)

又(a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 恆 > 0 因判別式 < 0,領導係數 > 0

                        a_n
=> a_(n+1) = ------------------------------ ≧ 0 by induction on n
               a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1

且

                        a_n                       a_n
   a_(n+1) = ------------------------------ <  --------- = a_n
               a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1            1

此數列遞減有下界,由實數完備性知極限存在,此時用令

 lim a_n = lim a_(n+1) = α = lim (a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1)
n→∞     n→∞              n→∞

                            = α^3 + α^2 + α

解出α = 0 或 -1 但負明顯不合 by a_n ≧ 0 for all n

:                                              4
: 3. 類似的問題， a1 = 2(1+√5) ， a_(n+1) = -------
:                                            a_n - 2
: 求a_n極限值，
: 得到 α=1±√5  如何得知正數不合?
: 謝謝:)

類似作法

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◆ From: 140.112.152.38
→ keith291:解這種問題不先證明極限存在是不恰當的.
→ keith291:證明過程即會找到限制式確定答案
推 YmemY:非常感謝你!!
推 YmemY:但是考慮答題速度~我想先找到極限再來推測
→ YmemY:極限存在證明的過程~這樣對我來說比較容易:P
推 YmemY:我想了一下，還是你照你說的做比較好．