※ 引述《keith291 (keith)》之銘言：
: ※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
: : 3 2
: : 2. a > 0, a + a + a = a 求 a (n->∞)
: : 1 n+1 n+1 n+1 n n
: : 我知道在n->∞時 可以用a_n = a_(n+1) = 固定值α 解出未知數，
: : 但最後解出α=0或-1時，如何得知-1不合?
: (a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1) = (a_(n+1))( (a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1)
: 又(a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 恆 > 0 因判別式 < 0,領導係數 > 0
: a_n
: => a_(n+1) = ------------------------------ ≧ 0 by induction on n
: a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1
: 且
: a_n a_n
: a_(n+1) = ------------------------------ < --------- = a_n
: a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 1
: 此數列遞減有下界,由實數完備性知極限存在,此時用令
: lim a_n = lim a_(n+1) = α = lim (a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1)
: n→∞ n→∞ n→∞
: = α^3 + α^2 + α
: 解出α = 0 或 -1 但負明顯不合 by a_n ≧ 0 for all n
看來是我之前搞錯題意了
原本以為這個數列是由遞迴關係式所建立的
: : 4
: : 3. 類似的問題， a1 = 2(1+√5) ， a_(n+1) = -------
: : a_n - 2
: : 求a_n極限值，
: : 得到 α=1±√5 如何得知正數不合?
: : 謝謝:)
: 類似作法
這個 我想跟 2 應該不同作法才對
至少這個是非遞增也非遞減的數列
我的作法如下
2 4√5
a_2 = -------- , a_3 = ---------- < 0
√5 2 - 2√5
所以 a_k < 0 , k = 3,4,5,...
4 4
而且 a_{k+1} = ---------- > ------- = -2 , k = 3,4,5,...
a_k - 2 - 2
4
=> a_{k+1} = ----------- < -1 , k = 4,5,6,... ---(1)
a_k - 2
(-1)
a_{k+1} - a_k = ------------ * (a_k^2 - 2a_k - 4) ---(2)
a_k - 2
a_{k+1}^2 - 2a_{k+1} - 4
(-4)
= -------------- * (a_k^2 -2a_k -4) ---(3)
(a_k - 2)^2
由 (3) 得到
a_{k+r}^2 - 2a_{k+r} - 4
(-4)^r
= ---------------------- * (a_k^2 - 2a_k -4) ---(4)
r-1
Π (a_{k+j} - 2)^2
j=0
由 (1) 和 (4), 當 k > 4,
|a_{k+r}^2 - 2a_{k+r} - 4| ≦ (4/9)^r (a_k^2 - 2a_k - 4)
=> 當 n > m > 5,
n-1
| a_n - a_m | ≦ Σ |a_{k+1} -a_k|
k=m
n-1 4
≦ Σ ------- |a_k^2 - 2a_k -4|
k=m |a_k-2|
n-1 4
≦ Σ ----- |a_k^2 - 2a_k -4|
k=m 3
4 n-1 4
≦ ----- Σ (---)^(k-m+1) |a_{m-1}^2 - 2a_{m-1} -4|
3 k=m 9
4 4 n-m 4
≦ ----- (---)^{m-6} |a_5^2 - 2a_5 - 4| Σ (---)^j
3 9 j=1 9
因此 {a_n} 是一個 Cauchy sequence, 所以會收斂
有錯請指教
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