※ 引述《dreamenjoy (今天也很爽)》之銘言：
: 1.
: f(x)= 1 x為有理數
: 0 x為無理數
: 證lim f(x)不存在
: x→0
假設存在，極限為L
取ε=1/2 存在δ>0 使得 0<|x|<δ 時，有|f(x)-L|<1/2
令x_1為有理數滿足 0<|x_1|<δ, x_2為無理數滿足 0<|x_2|<δ
則f(x_1)=1 且 f(x_2)=0
因此 |1-L|<1/2 且 |0-L|<1/2
所以 L>1/2 且 L<1/2 矛盾
: 2.
: 設x>0 證 x-x^2/2<ln(1+x)<x
設 f(x)=ln(1+x)-x+x^2/2
g(x)=x-ln(1+x)
1 x^2
=> f'(x)= --- - 1 + x = ----- > 0 for x>0
1+x 1+x
1 x
g'(x)= 1 - ----- = ----- > 0 for x>0
1+x 1+x
=> f(x) and g(x) are increasing functions
since f(0) = 0 , g(0) = 0
=> f(x)>0 and g(x)>0 for all x>0
=> x-x^2/2<ln(1+x)<x
: 3.
: 無窮大
: 證遐積分∫ sinx/x dx 收斂
: 0
∞ sinx 1 sinx ∞ sinx
∫ ------ dx = ∫ ------dx +∫ ------dx = (A) + (B)
0 x 0 x 1 x
1 x
(A) < ∫ -----dx = 1
0 x
-cosx b ∞ cosx
(B) = lim (----- | ) + ∫ ------dx
b→∞ x 1 1 x^2
∞ cosx ∞ 1
since ∫ ------dx < ∫ ----dx =1
1 x^2 1 x^2
=> (A)+(B) < ∞
: 4.
: f(x)=2x^2-4x/x-1
: 求f(x)定義域 值域
: 太久沒看前1.2章...都忘記值域是啥了
定義域 : R\{1} 值域 : R (不確定)
有錯請指正 謝謝
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