[積分] 重積分之積分次序

[RLCorn (阿誠)]

以下是原題目
                                 1  y^2
Evaluate the iterated integral ∫ ∫     2ye^x dxdy
                                 0  0

我分別用了兩個方法，但算出來結果不太一樣


1.直接積分法

       1       |y^2
原式= ∫ 2ye^x |    dx
       0       |0

       1                 1
    = ∫ 2ye^(y^2) dy - ∫ 2y dy = e-1 -1 = e-2
       0                 0                 ─── 為正解



2.積分次序交換


判斷原式為連續函數,做積分次序交換,並修正上下界


      1  √x
原式=∫ ∫    2ye^x dydx
      0  0


因 x=y^2 , 0 ≦y≦ 1 , 0 ≦x≦ y^2 .

把其圖形看成在x-y平面上， x=y^2之上半部與y=0、y=1圍成之面積



接著開始積分



   1          |√x        1
  ∫ y^2 e^x  |    dx  = ∫ xe^x dx
   0          | 0         0


                                     |1
                       =  xe^x - e^x |
                                     |0


                       = 0 - 1   錯誤
                         ﹌﹌﹌


想請教各位版友，是否有計算/觀念錯誤的部分


謝謝
















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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.230.114.168
→ RLCorn:資料沒錯的話,這是中興97(應經土環水保)
→ RLCorn:的考古題
※ 編輯: RLCorn          來自: 61.230.114.168       (05/29 18:11)
→ bibo9901:y的範圍應該是 √x<=y<=1 吧@@
→ smartlwj:範圍錯了~應為bibo大所說的
→ RLCorn:想再次請問  0≦x≦y^2 → 0≦√x≦y≦1
→ RLCorn:得上下界  √x≦y≦1 這樣嗎? 謝謝
→ bibo9901:yap
→ RLCorn:明白了，謝謝各位 =)